Wenn n eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist auch n^2 gerade. Beweis

Question

Nacht, kan mir jemand die Beschweisschritte erklären:

Beispiel \( 1.15 . \) Wenn \( n \) eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist auch \( n^{2} \) gerade.
Beweis.
\( A: n \in \mathbb{N} \) ist gerade \( , B: n \in \mathbb{N} \) und \( n^{2} \) ist gerade
\( A \Leftrightarrow n=2 k \) für ein \( k \in \mathbb{N} \Rightarrow n^{2}=4 k^{2} \)
\( \Rightarrow n^{2}=2 m \) mit \( m=2 k^{2} \) und \( k \in \mathbb{N} \)
\( \Rightarrow n^{2}=2 m \) mit \( m \in \mathbb{N} \Leftrightarrow n^{2} \) ist gerade \( \Leftrightarrow B \)

Comments

A: n ist gerade, B: n^2 ist gerade

was bedeutet dieses 2k und 2m und m

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" verstanden aber das mit dem ausklammern? :( "  ???

4 = 2*2 

4k^2 = 2*2*k^2 = 2*(2*k^2) = 2*(2k^2) 

Answer 1

Der Beweis im Bild ist eigentlich knapp und gut gemacht.

Du sollst zeigen, dass Quadratzahlen von geraden Zahlen wieder gerade sind.

Bei geraden natürlichen Zahlen kann man den Faktor 2 ausklammern und hat dann in der Klammer immer noch eine natürliche Zahl. Die Zahl in der Klammer wird hier k genannt.

Bsp. n=10 ist eine gerade natürliche Zahl, 10 = 2*5, das k =5 ist ebenfalls eine natürliche Zahl.

10^2 = (2*5)^2 = 4*25 = 2*2*25 = 2*(50) = 2*50. Also wieder eine gerade Zahl. In der Klammer steht 2*k^2 = 2*5^2 .

n^2 = 2*m , wobei m die natürliche Zahl 2*k^2 ist. D.h. n^2 ist eine gerade Zahl.

Nun solltest du den Beweis im Bild eigentlich lesen können.

Schau auch noch bei den ähnlichen Fragen. Es gilt auch die Gegenrichtung.

 Z.B. https://www.mathelounge.de/8794/wenn-eine-quadratzahl-gerade-ist-dann-ist-auch-die-zahl-gerade

Answer 2

für alle \( k \in \Bbb Z \) ist \( n = 2k \) eine gerade und \( n = 2k+1 \) eine ungerade Zahl.

Man macht so etwas, damit man nicht immer mit Teilern oder Brüchen hantieren muss.

Grüße,

M.B.

Comments

kannst du villeicht die schritte erklären das ist mir leider nicht klar:(

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wenn \(n\) gerade ist, lässt es sich in der Form \( 2k \) schreiben, also

\( n = 2k ~\Rightarrow~ n^2 = (2k)^2 = 4k^2 = 2\cdot(2k^2) \).

Da Du aus \( n^2 = 4k^2 \) eine 2 ausklammern kannst, folgt daraus, dass es ebenso gerade ist.

Das Ganze ist oben äußerst umständlich mit mehreren zusätzlichen Variablen erklärt.

Grüße,

M.B.

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verstanden aber das mit dem ausklammern? :(

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bei geraden Zahlen lässt sich eine 2 ausklammern, bei ungeraden nicht.

Grüße,

M.B.