Arithmetisches Mittel zweier dreistelliger natürlicher Zahlen, die ..., beträgt 555. Teilt man jede ...

Question

Ich versteh bei dieser Textaufgabe leider wirklich nicht, wie ich vorgehen soll...

Das arithmetische Mittel zweier dreistelliger natürlicher Zahlen, die sich nur in der Reihenfolge der beiden ersten Ziffern (von links) unterscheiden, beträgt 555. Teilt man jede der beiden Zahlen durch ihre Quersumme, so erhält man 49 bzw. 25. Um welche beiden Zahlen handelt es sich?

Answer 1

Das arithmetische Mittel zweier dreistelliger natürlicher Zahlen, die sich nur in der Reihenfolge der beiden ersten Ziffern (von links) unterscheiden, beträgt 555. 

Dreistellige Zahlen abc und bac

Ansatz: 

erste Zahl 100a + 10b + c

zweite Zahl 100b + 10a + c

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Arithmetisches Mittel: Summe / 2

555 = 55a + 55b + c      (I) 

 Teilt man jede der beiden Zahlen durch ihre Quersumme, so erhält man 49 bzw. 25.

(100a + 10b + c)/(a+b+c) = 49      (II)

(100b + 10a + c)/(a+b+c) = 25   (III)

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Erst mal so weit kontrollieren und dann das LGS lösen. 

Answer 2

erste Zahl 100a + 10b + c

zweite Zahl 100b + 10a + c

-----------------------------------------

Arithmetisches Mittel: Summe / 2

555 = 55a + 55b + c      (I) 

Ab hier geht es deutlich einfacher:

555 = 55(a+b) +c

also 

555-55(a+b) = c

Da c eine Ziffer von 0 bis 9 sein muss und a+b

eine nat. Zahl zwischen 0 und 18 gibt es dafür nur eine

mögliche Lösung    a+b=10   und   c=5

Also ist die Quersumme schon mal 15 und du hast 

( 100a + 10b + c ) : 15  = 49    bzw.

(90a + 10(a+b) + 5 ) : 15 = 49

wegen a+b=10

(90a + 100 + 5):15  = 49

  6a  + 7 = 49

6a = 42 

a=7   und wegen a+b=10  also  b=3 

erste Zahl  735   zweite Zahle also  375 

arith. Mittel  ( 735+375) / 2 = 555   Passt !

Division durch Quersumme

735:15 = 49

375:15 = 25   Passt auch !