Nullstelle, Extrema bestimmen (Lennard Jones Potential)

Question

Ich bräuchte die Ableitungen von dieser Formel mit Erklärungen zu jedem Schritt sowie die Nullstellen und die Extrema.

Ich selbst verstehe nur Bahnhof.............................

EDIT: V(x) = 4 E [ (d^12 x^{-12} - d^6 x^{-6} ] 

Answer 1

$$ V(r)=4 ε[(\frac { σ }{ r })^{ 12 }-(\frac { σ }{ r })^{ 6 }] $$

$$ V'(r)=24ε[-2\frac { σ^{ 12 }}{ r^{ 13 } } + \frac { σ^{ 6 } }{ r^{ 7 } }] $$

Comments

Mir ist immer noch schleierhaft wie man die Nullstellen bei solch einer Formel (V'(r)) berechnet ^^

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Langsam, langsam.

Die Nullstelle befindet sich bei $$ r=σ $$

Kommen wir zu dem Extrempunkt.

Die notwendige Bedingung lautet:

$$ V'(r)=24ε[-2\frac { σ^{ 12 }}{ r^{ 13 } } + \frac { σ^{ 6 } }{ r^{ 7 } }] =0$$

Daraus ergibt sich:

$$ { r }_{ 0 } = { 2 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }σ ≈ 1,12σ $$

Der Potenzialwert beträgt hier also:

$$ V(r_{ 0 })=-ε $$

Die hinreichende Bedingung:

$$ V''(r_{ 0 })=4ε(\frac { 12\cdot13σ^{ 12 } }{ r_{ 0 }^{ 14 } }-\frac { 6\cdot7σ^{ 6 } }{ r_{ 0 }^{ 8 } })=\frac { 72ε }{ 2^{ \frac { 1 }{ 3 } }σ^2 } $$

Somit liegt ein Minimum vor.

Das Minimum liegt aber, wie erwähnt, bei $$ { r }_{ 0 } = { 2 }^{ \frac { 1 }{ 6 } }σ$$

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Könntest du mir erklären wie du auf die 24 und auf die -2 kommst bei den Ableitungen?

Am besten wäre es wenn du mir dein Blatt schicken könntest auf dem du diese Aufgabe gemacht hast.  Bei mir mangelt es leider auch an den mathematischen Grundlagen. 

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Sei mir nicht böse: Du studierst wahrscheinlich an einer Alma Mater. Es ist an einer Universität sehr wichtig, Aufgaben alleine lösen zu können.

Ich mache Dir einen Vorschlag: Im I-Net findest Du diverse Seiten, die das Lennard-Jones-Potential aufführen.

Schreibe einen Ansatz, ich helfe Dir sehr gerne weiter.

Gruß

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Ich brauch das nur, um den "Mathe-Schein" zu bekommen und mit der Klausur hat es sich erledigt. haha

Answer 2

Nennen wir die Variable mal x und verwenden lateinische Buchstaben.

 V(x) = 4 E [ d^12 x^{-12} - d^6 x^{-6} ] 

 V'(x) = 4 E [ -12 d^12 x^{-13} - (-6) d^6 x^{-7} ]          | 6d^6 ausklammern

V'(x) = 24 E d^6 [ -2 d^6 / x^13  + 1/x^7 ] 

Nullstellen: 

V(x) = 0           , Annahme E ≠ 0 

 d^12 x^{-12} - d^6 x^{-6}  = 0  | : d^6 ; * x^6 

d^6 x^{-6} - 1  = 0

d^6 x^{-6} = 1           | *x^6

d^6 = x^6 

x = ± d 

Extremalstellen 

V'(x) = 24 E d^6 [ -2 d^6 / x^13  + 1/x^7 ]  = 0    | Annahme E und d ≠ 0 

 [ -2 d^6 / x^13  + 1/x^7 ]  = 0 

  1/x^7   = 2 d^6 / x^13          | * x^13

x^6 = 2 d^6      | ^√ 

x = ± ⁶√(2) * |d|             . Falls d > 0 kann man noch die Betragsstriche weglassen.

x = ± ⁶√(2) * d 

usw. 

Vielleicht ist es mit diesen Buchstaben einfacher, die Rechnung von Mangenkyö nachzurechnen. 

Auf dein Blatt musst du dann aber die Buchstaben in der Fragestellung malen.         

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Sehr schön gelöst, Lu!

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