Summe von 1/n² auf Konvergenz / Divergenz untersuchen

Question

die reihe

$$\sum { \frac { 1 }{ n² }  } $$ konvergiert oder?  wegen dem minorantenkriterium...

es gibt ja die minorante 1/n welches ja konvergent ist und darum konvergiert dann die ausgangsreihe?

Comments

es gibt ja die minorante 1/n welches ja konvergent ist und darum konvergiert dann die ausgangsreihe?

Mir fehlen die Worte ...

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na wieso denn? ich dachte die reihe wäre konvergent... aber mir fällt grad auf, dass ich mit dem majorantenkriterium genau auf das gegenteil komme... nämlich 1/n²<= 1/n und aus 1/n als majorante folgt, dass die reihe divergiert da 1/n^1 und ^1 ist halt das polynomleitkoeffizient und das ist = 1 und somit ist die folge konvergent und somit divergiert die reihe.. passt das so ?

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lol eine warte du hast mich durcheinander gebracht... die reihe konvergiert schon, das ist ja richtig nur wieso stimmt die begründung nicht?

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du bringst da ein Paar Dinge durcheinander. Das Minorantenkriterium benutzt man, um Divergenz zu zeigen, das Majorantenkriterium, um Konvergenz zu zeigen. Schau dir nochmal ganz genau die Voraussetzungen für das Majorantenkriterium an. Zwar gilt 1/n > 1/n², aber \( \sum_{n=0}^{\infty}{\frac { 1 }{ n }} \) divergiert! \( \sum_{n=0}^{\infty}{\frac { 1 }{ n }} \) müsste, damit man das Majorantenkriterium anwenden kann, aber konvergieren. Also ist \( \sum_{n=0}^{\infty}{\frac { 1 }{ n }} \) als Majorante ungeeignet.

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ahso ok verstehe dann divergiert die reihe alles klar danke

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Du kannst die Konvergenz der Reihe z.B. wie folgt zeigen: Für alle \(n\in\mathbb N\) gilt sicher \(n\ge1\). Es folgt \(n^2\ge n\Leftrightarrow2n^2\ge n^2+n\Leftrightarrow\color{blue}{\dfrac2{n(n+1)}\ge\dfrac1{n^2}}\). Damit gilt für alle \(N\ge1\)$$\sum_{n=1}^N\frac1{n^2}\le\sum_{n=1}^N\frac2{n(n+1)}=2\sum_{n=1}^N\left(\frac1n-\frac1{n+1}\right)=2\left(1-\frac1{N+1}\right)<2.$$

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cool zum ersten mal bin nach einer frage noch verwirrter als davor...

sonnst ist mathe lounge ja voll gut...

also kann man nicht einfach sagen ∑ 1/n² konvergiert und fertig, weil wie soll man das noch weiter kürzen? 
denn da gibt es doch eine regel mit harmonische reihe mit 1/n^α und wenn α > 1 ist dann konvergiert die reihe und punkt ... ist das richtig? 
denn wenn ich jetzt weiter mache und sag ich benutze jetzt das mino.Krit. dann kommt man doch ganz wo anders hin...

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Mal ganz direkt gefragt: Weisst Du, was der Unterschied zwischen einer Folge und einer Reihe ist?

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na klar folge ist einfach eine funktion... z.B. y werte werden den x werten zugeordnet und reihe ist die summe aller funktionswerte... bzw. kann auch das produkt aller funktionswerte sein mit dem produktzeichen... ∏

nur ich hab halt schwierigkeiten bei konvergenz, das kann ich mir irgendwie nicht vorstellen... dagegen ist divergenz ganz klar, man zählt halt die Ergebnisse alles zusammen und wenn es gegen unendlich geht ist es divergent... aber konvergenz ist schwierig...

Answer 1

eine Möglichkeit die Konvergenz dieser Reihe zu zeigen, ist mithilfe des Integralkriteriums.

Comments

kenne ich ja gar nicht? ... aber die reihe konvergiert ist richtig?... nur halt die begründung nicht?

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kann ich auch so vorgehen?

kann man nicht einfach sagen ∑ 1/n² konvergiert und fertig, weil wie soll man das noch weiter kürzen?  
denn da gibt es doch eine regel mit harmonische reihe mit 1/n^α und wenn α > 1 ist dann konvergiert die reihe und punkt ... ist das richtig?  
denn wenn ich jetzt weiter mache und sag ich benutze jetzt das mino.Krit. dann kommt man doch ganz wo anders hin... 

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Nein, das kann man nicht so einfach sagen, man muss solche Sachen immer begründen ;)

Das hängt auch immer davon ab, was ihr schon als bewiesen annehmen könnt.

Das Integralkriterium wird meistens erst später (im Zuge der Integration) nachgeliefert. Einen üblicheren Nachweis, dass die Reihe konvergiert, hat dir oben schon nn gebracht.

Du kannst es auch z.B hier nachlesen:

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Harmonische_Reihe#Allgemeine_harmonische_Reihe

https://de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Cauchy-Kriterium_f%C3%BCr_Reihen#Anker:Konvergenzaufgabe

Answer 2

Der Grenzwert der Reihe ist π²/6.

Comments

ne ich muss nur zeigen obs konvergiert oder divergiert, kein grenzwert angabe nötig...