Wie überprüft man ob diese Abbildung positiv definit ist?

Question

Die Abbildung: ℝ³ x ℝ³ → ℝ

$$ \beta =(\begin{pmatrix} { a }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } \end{pmatrix},\quad \begin{pmatrix} { b }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ { b }_{ 3 } \end{pmatrix})\quad =\quad { a }_{ 1 }{ b }_{ 2 }-{ a }_{ 2 }{ b }_{ 1 }+{ a }_{ 3 }{ b }_{ 3 } $$
Ist diese Abbildung positiv definit? Wie überprüft man dies?

Answer 1

Man prueft, ob für \(a,b\ne0\) stets \(\beta(a,b)>0\) ist. Falls ja, dann erfuellt \(\beta\) die Definition des Begriffes "positiv definit" und ist damit positiv definit. Andernfalls nicht.

Comments

Dann überprüft man das irgendwie so: 

$$ \beta =(\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\quad ,\quad \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix})=1*1-1*1+0*0=0 $$

Ich habe das ausgedacht, aber was ist mit den komplexeren Abbildungen, wenn man das nicht so einfach ausdenken kann? 
Wie kann man dann überprüfen, ob die Abb. positiv definit ist?

Zum Beispiel: $$ \alpha =(\begin{pmatrix} { a }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } \end{pmatrix}\quad ,\quad \begin{pmatrix} { b }_{ 1 } \\ { b }_{ 2 } \\ { b }_{ 3 } \end{pmatrix})=\quad ({ a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 })({ b }_{ 1 }+{ b }_{ 2 })+{ a }_{ 2 }{ b }_{ 2 }+5{ a }_{ 3 }{ b }_{ 3 } $$

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Fuer Dein \(\alpha\) kann man ja auch ganz einfach ein Gegenbeispiel angeben.

Wenn man keines findet, kann es daran liegen, dass eine Abb. wirklich positiv definit ist. Gibt's ja auch. Einen Beweis kann man dann selber ad hoc basteln oder man schaut in der Theorie der bilinearen Formen (-> Lineare Algebra) nach anwendbaren Kriterien.

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Ich habe bekommen, dass α auch nicht positiv definit ist.

Meine Lösung: $$ \alpha =(\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 1/5 \end{pmatrix}\quad ,\quad \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix})=\quad (1-1)(1-1)+(-1)(-1)+5*(1/5)(-1)=0 $$

Ist das so richtig?

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Nur damit keine falscher Eindruck entsteht: Du musst hier nicht = 0 zusammenbasteln. < 0 ist genauso gut.

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Als Korrektur: Die Definition für "positiv definit" lautet natuerlich \(\beta(a,a)>0\) für alle \(a\ne0\).

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Dann ist α positiv definit. Meine Lösung ist falsch?

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$$ \alpha =(\begin{pmatrix} { a }_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } \end{pmatrix}\quad ,\quad \begin{pmatrix} a_{ 1 } \\ { a }_{ 2 } \\ { a }_{ 3 } \end{pmatrix})=\quad ({ a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 })({ a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 })+{ a }_{ 2 }{ a }_{ 2 }+5{ a }_{ 3 }{ b }_{ 3 }=\quad ({ a }_{ 1 }+{ a }_{ 2 })^{ 2 }+{ a }_{ 2 }^{ 2 }+5{ a }_{ 3 }^{ 2 }\quad >\quad 0 $$

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Ja, aber das eroeffnet Moeglichkeiten.

1) Warum ist die "Definition" mit a, b offensichtlicher Quatsch?

2) Beweise, dass α positiv definit ist.

Und ausserdem die Gelegenheit zu einem Ratschlag:

3) Definitionen selber nachschlagen ist sicherer, als andere zu fragen.