Extremwerte bestimmen

Question

Servus!

Gegeben ist die Funktion mit dem Funktionsterm f(x)=-(x^4/8)+(x^3/2)

Untersuchen Sie die Funktion auf Extremwerte und geben Sie die Art der Extremstelle an.

So. Erstmal differenzieren -> f'(x)= -(x^3/)+(3x^2/2) -> f''(x)=-(3x^2/2)+3x

Ich mach's mit der ersten Ableitung. x^2(-(x^2/2)+(3/2))=0

x1 und x2 sind somit 0.

-(x^2/2)+(3/2)=0 |*2 -> -2x^2+6=0 |-6

-2x^2=-6 | /(-2) -> x^2=3

x3 ist somit 3.

Hab ich das soweit richtig ausgerechnet?

Answer 1

Hallo ie,

Ich mach's mit der ersten Ableitung. x²(-(x²/2)+(3/2))=0

f '(x) = 3/2·x² - 1/2·x³  = x²/2 · (3 - x) = 0  ,  x_1,2 = 0  ,  x₃ = 3  

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> -2x²=-6 | /(-2) ->   x²=3       ⇔  x = ±√3   wäre also falsch.

x₃ ist somit 3.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo Wolfgang. Danke für die rasche Antwort.

Ich verstehe leider das nicht "f '(x) = 3/2·x² - 1/2·x³  = x²/2 · (3 - x) = 0".Wieso steht da gleich am Anfang x^2 im Nenner und nicht im Zähler? Wie bist du auf - 1/2·x³ gekommen?

MfG Ali

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 bei 3/2·x²  = 3x²/2  steht x² nicht im Nenner, sonst müsste es 3/(2·x²)  heißen

>  Wie bist du auf  - 1/2·x³ gekommen? 

[ -(x⁴/8)+(x³/2)] '  = - 4/8 x³ + 3/2 x² 

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Tut mir leid, ich steh grad auf'm Schlauch. Jetzt raff ich nichts mehr. Wieso ist 3/2x^2=3x^2/2?

Woher kommt den x^4/8?

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 3/2x² = 3/2·x² =  3/2  *  x²  = 3/2 * x²/1 = 3x² / 2       [ 3/2·x²  ≠  3/(2·x²) ]

[ x⁴ ] ' = 4 * x³

[ - x⁴ / 8 ] ' = [  -1/8 * x⁴ ] '  =  -1/8 * 4 * x³ =  - 4/8 * x³ = - 1/2 * x³

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So langsam kapier ichs. Danke für die Hilfe, Wolfgang.

Answer 2

f ( x ) =-(x⁴/8) + (x³/2)
f ´( x ) = - 1/2 * x^3  + 3/2 * x^2
f ´´( x ) = - 3/2 * x^2  + 3 * x

Stellen mit waagerechter Tangente
- 1/2 * x^3  + 3/2 * x^2 = 0
x^2 * ( -1/2 * x + 3/2 ) = 0

x = 0
-1/2 * x + 3/2 = 0
x = 3

f ´´( x ) = - 3/2 * x^2  + 3 * x
f ´´( 3 ) = - 3/2 * 3^2  + 3 * 3 = -9/2
( 3 | -9/2 ) Hochpunkt

f ´´( x ) = - 3/2 * x^2  + 3 * x
f ´´( 0 ) = - 3/2 * 0^2  + 3 * 0 = 0

Nichts genaues weiß man noch nicht.

Monotonie > 0
f ´( x ) = - 1/2 * x^3  + 3/2 * x^2 > 0

- 1/2 * x^3 >  -3/2 * x^2 | : x^2
( für x ≠ 0 ; x^2 ist stets > 0 )
- 1/2 * x >  -3/2   | * -2
x < 3

Für x < 3 ist die Funktion steigend.
bei x = 0 also auch.
Links und rechts davon auch.
Die Stelle x = 0 ist ein Sattelpunkt.
( 0 | 0 )  Sattelpunkt.