Wieso ist der Begriff "positiv-definit" wohldefiniert?

Question

Aufgabe:

Wieso ist der Begriff "positiv-definit" wohldefiniert?

Problem/Ansatz:

Ich habe ein Problem mit dieser Frage, weil ich mir nicht vorstellen kann, wie für so etwas Wohldefiniertheit zu zeigen ist und in was für einem Zusammenhang diese Wohldefiniertheit mit hermiteschen Formen steht.

Wenn mir jemand helfen könnte, wäre das toll :)

Comments

Ich vermute, dass es um Basis-Unabhängigkeit geht.

---

Ist h eine hermitesche Sesquilinearform auf V, dann nennt man h

positiv definit \(\iff\) \(h(v,v) > 0\) für alle \(v≠0\)

Aber es ist ja \( h \) eine Abbildung \( h :~V \times V \to \mathbb C \)

Der Ausdruck \(h(v,v) > 0\)  ergibt aber nur Sinn, falls \( h(v,v) \in \R \), denn auf den komplexen Zahlen kann man keine Ordnung angeben wie bspw. auf \( \R \).

---

Oh ja. Das ist eine bessere Deutung !

Answer 1

Das Problem kommt daher, dass eine Sesquilinearform \(\langle\cdot,\cdot\rangle\) von \(V\times V\) nach \(K\) abbildet, wobei \(K\) ein Körper und \(V\) ein \(K\)-Vektorraum ist.

Ist \(K = \mathbb{C}\), dann ergibt die Forderung

        \(\langle v,v\rangle > 0\quad \forall v\in V\)

unter Umständen keinen Sinn, weil \(\mathbb{C}\) nicht angeordnet werden kann.

Positive Definitheit ist aber nur für hermitesche Sesquilinearformen definiert. In hermiteschen Sesquilinearformen ist \(\langle v,v\rangle\) für alle \(v\in V\) reell. Wäre das nicht der Fall, dann wäre positive Definitheit unter Umständen nicht wohldefiniert. Das hängt vom genauen Wortlaut deiner Definition ab.