Weidefläche an Mauer für Ziege Alma

Question

 Und ich bräuchte Hilfe bei der Aufgabe : Findet rechnerisch die größtmögliche Weideflächen für die Ziege.

Answer 1

a = 2 kurze Seiten
b = 1 lange Seite

2 * a + b = 120
A = a * b

2 * a + b = 120
b = 120 - 2 * a

A ( a ) = a *  ( 120 - 2 * a )
A ( a ) = 120 * a - 2 * a^2
A ´( a ) = 120 - 4 * a
Extremum
120 - 4 * a = 0
a = 30 m

2 * 30 + b = 120
b = 60 m

Answer 2

b + 2·h = 120 --> b = 120 - 2·h

A = b·h = (120 - 2·h)·h = 120·h - 2·h^2

Wertetabelle für h ∈ [0, 60]

[0, 0;
5, 550;
10, 1000;
15, 1350;
20, 1600;
25, 1750;
30, 1800;
35, 1750;
40, 1600;
45, 1350;
50, 1000;
55, 550;
60, 0]

Rechnerisch ist der Scheitelpunkt von A = 120·h - 2·h^2 zu bestimmen. Da die Nullstellen bei 0 und 60 liegen liegt der Scheitelpunkt bei 30 und damit sind 1800 m² Weidefläche der größtmögliche Wert.

Answer 3

Habe versehentlich mit 200 m Zaun gerechnet. Die Zeichnung erweckt den Eindruck, dass eine Seite der Weide durch eine Mauer begrenzt ist und keinen Zaun braucht. Sei a die Länge der Weide parallel zur Mauer und b die Breite der Weide,dann gilt 200=2b+a oder (1) a=200-2b. Die Weidefläche ist (2) F=a·b. (1) in (2) eingesetzt: F(b)=(200-2b)·b = 200b-2b². Für b=10 m ergibt sixh F(10)= 2000-200=1800 m². für b=5 m ergibt sich F(5)=1000-50=950m². Schreiben wir f(x) statt F(b), dann sieht man f(x)=200x-2x² ist die Gleichung einer nach unten geöffneten Parabel mit der Scheitelform f(x)=-2(x-50)²+5000. Ihr höchster Punkt ist der Scheitel (50; 5000). Also muss b=50 gewählt werden. Dann hat die Weide ihre größte Fläche von 5000 m².

Answer 4

Der Flächeninhalt der rechteckigen Weidefläche wird berechnet

A = a * b

Die 120 m Zaun für drei Seiten des Rechtecks - ich gehe davon aus, dass die Mauer nicht mit eingezäunt werden soll - setzten sich zusammen aus

U = 2a + b ⇒

2a + b = 120    nach b aufgelöst ergibt sich

b = 120 - 2a

Das setzt du in die Zielfunktion ein:

A = a * (120 - 2a)

f_(a) = a * (120 -2a)

      = 120a - 2a²

Zu dieser Funktion suchst du dann das Maximum, indem du die erste Ableitung = 0 setzt:

f'_(a) = 120 - 4a

120 - 2a = 0

 120        = 4a

    30        = a

Da die zweite Ableitung = -4 < 0 ist, liegt tatsächlich ein Maximum vor.

Um b zu ermitteln, wird a = 30 in die "Umfanggleichung" eingesetzt:

b = 120 - 2*30 = 60

Den größtmöglichen Flächeninhalt erhätlst du also mit diesen beiden Seitenlängen.