Gleichung mit zwei mal e auf einer Seite lösen: e^{0.5x}+e^{-0.5x}=4

Question

Ich komm bei folgender gleichung nicht mehr weiter : e^{0.5x}+e^{-0.5x}=4

Normalerweise sind e gleichungen kein Problem für mich jedoch hatte ich noch nie das Problem das sich zwei e^ auf einer seite befinden und ich somit nicht weiß wie es sich verhält wenn ich den ln ziehe. Ich habe mit dem taschenrechner bereits herausgefunden das die lösung irgendwas mit 2,633 sein muss daher kann es nicht sein das man den ln so zieht : 0.5x-0.5x=ln(4) da dann 0=ln(4) rauskommt daher weiß ich nicht weiter ^^ bitte um hilfe mit rechenweg damit ich es nochvollziehen kann :)

vielen dank :)

Comments

Du könntest ja auch mit mal e^{0,5x} versuchen ;)

Kommst du dann so weiter?

Answer 1

Du hast es hier mit einer Exponentialgleichung zu tun. Es gibt nur eine Unbekannte und nur eine Gleichung, deshalb ist das kein Gleichungssystem (habe das in deiner Frage entsprechend korrigiert).  

e^0.5x+e^-0.5x=4 

Substituiere: u =  e^0.5x

Dann hast du

u + 1/u = 4

u^2 - 4u + 1 = 0          | Quadratische Gleichung! 

u = 1/2 ( 4 ± √(16 - 4))

u = 1/2 (4 ± 2√(3)) 

u = 2 ± √3 

Nun erst mal nachrechnen, rücksubstituieren und x bestimmen. 

Zur Kontrolle am Schluss:

https://www.wolframalpha.com/input/?i=e%5E(x%2F2)%2Be%5E(-x%2F2)%3D4 

Beachte auch, dass der cosh(x) in deiner Gleichung versteckt ist. Mit arcosh(...) bist du noch schneller am Ziel. 

"alternate form" hier: https://www.wolframalpha.com/input/?i=cosh(x) 

==> cosh(x/2) = 2

https://www.wolframalpha.com/input/?i=cosh(x%2F2)+%3D+2

x/2 = ± arcosh(2)       | Symmetrie von arcosh nicht vergessen ! 

x = ± 2 arcosh(2)