Induzierte Metrik beweisen

Question

folgende Aufgabe:

Sei (M,d) metrischer Raum und A⊂M nichtleere Teilmenge. Man nennt die Abbildung

d_A:AxA→ℝ; (x,y) ↦ d(x,y)

die von d auf A induzierte Metrik. Zeigen Sie, dass (A, d_A) ein metrischer Raum ist.

Eigentlich muss ich doch nur zeigen, dass d auf A eine Metrik ist - mehr nicht, oder?

Wie genau zeige ich das jetzt? Ich muss doch wieder nur die 3 Eigenschaften abklappern. Aber wie?
LG

Answer 1

eigentlich brauchst Du gar nichts zu beweisen. Denn die zwei bzw. drei Punkte in A, mit denen Du die Metrik beweisen willst, liegen doch auch in M, und damit funktioniert das alles.

Grüße,

M.B.

Comments

Hallo MatheB,

danke für deine Antwort. Leider muss ich trotzdem die Aufgabe irgendwie lösen. Würde es da reichen dass ich argumentiere, dass A ja die nicht-leere Teilmenge ist?

Lg

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die Metrik \( d \) gilt in \( M \) und funktioniert dort.

Die Metrik \( d_A \) ist die selbe Metrik, nur eingeschänkt auf die Teilmenge \( A \).

Für alle Punkt in \( A \) nimmst Du die Metrik \( d_A \), aber da alle Punkt in \( A \) auch in \( M \) liegen, ist das doch das selbe.

Grüße,

M.B.

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Okay, danke dir :) Komische Aufgabe....