1/(2*3^N) < 1/2 * 10^{-6} .....==>N ≥ 18. wie kommt man drauf?

Question

könnt ihr mir erklären, wie man auf die einzelnen Äquivalenzen kommt?

Und dann auf die N= 18?

Answer 1

Aus 1/(2·3ⁿ)<1/2·10^-6 folgt nach Multiplikation mir 2 und Def des neg Exponenten: 1/(3ⁿ)<1/10⁶. Zähler und Nenner vertauschen und Ungleichheitszeichen umdrehen 3ⁿ>10⁶. Hoch 1/6 auf beiden Seiten 3^n/6>10. nun weiß man, dass 3³<10 aber 3⁴>1 gilt. Das heißt: Für natürliche Zahlen oberhalb n=18 ist 3^n/6>10.

Comments

Aber 18/6 ist doch drei und dann wäre doch die Ungleichungen nicht erfüllt

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Ich habe mich ein wenig verschrieben. Es sollte heißen: Nun weiß man, dass 3³<10 aber 3⁴>10 gilt. Das heißt: Für natürliche Zahlen oberhalb n=18 ist 3^n/6>10.

Nun zu deiner Frage:. Aber 18/6 ist doch drei (richtig) und dann wären doch die Ungleichungen nicht erfüllt (welche Ungleichungen meinst du? In meinem Text stehen 7 Ungleichungen).

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Müsste es nicht eigentlich N>=19 heißen?

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Ja, du hast recht. Es könnte auch n>18 heißen. Vermutlich ein Tippfehler.

Answer 2

1 / (2*3^N ) < 1/2 * 10^-6    | *2

<=>  1 / 3^N  <  10^-6       | * 3^N


<=>  1  <  10^-6   *  3^N   | 10^-6 bzw   * 10⁶ gibt

<=>  10⁶   <  3^N 

<=>  1 000 000  <  3^N 

Und hier kannst du schneller sehen, dass das für N>=18 gilt, indem

du für N mal ein paar Werte in den Rechner tippst.

3¹⁰ =  59049  zu wenig


3²⁰ =  3 486 784 401  zu viel

etc.
  

Answer 3

Vemutlich habt ihr  einfach mal grob abschätzt.

Exakt scheint N ≥ 13 zu genügen. N ist ja eine natürliche Zahl.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1+%2F+(2*3%5EN+)+%3C+1%2F2+*+10%5E(-6) 

1 / (2*3^N ) < 1/2 * 10^{-6}

3^{N/6} > 10

3^2 = 9 < 10

3^3 = 27 > 10

Also ist für N/6 = 3 bereits das Resultat immer grösser als 10, für grösser N dann sowieso.

N/6 = 3 | * 6

N = 18.

==> N ≥ 18 ist garantiert genug gross.