Konvergiert die Reihe? ((n+1)/n)^{n^2}

Question

Ich habe eine Frage zur Konvergenz einer Reihe:

Konvergiert die Reihe
$$ \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^{2}} $$

Wenn ich dazu was Wurzelkriterium "befrage" kommt 1 heraus.

Folglich sollte ich entweder nach einer Konvergenzen Majorante oder divergenze Minorante suchen.
Da fällt mir aber beim Besten willen nichts ein.

dass ∑ ((n+1)/n ) ^n = e ist bringt mir hier ja nicht sonderlich viel, da ich ja nicht einfach e² daraus machen kann,
da das Produkt von Reihen ja durch das CauchyProdukt definiert ist. Oder?

Answer 1

Es gilt

\( \sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^{2}}=\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}<\sum \limits_{n=1}^{\infty}\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n}=e \)

Damit hast du mit e eine Majorante gegeben und die Reihe konvergiert. Die Relation < gilt für die gesamte Reihe, da sie für jeden einzelnen Summanden gilt.

Comments

Ist nicht (n+1)/n > 1 für alle n >= 1 und damit auch ((n+1)/n)^n >1 was bedeutet, dass

((n+1)/n)^n < ((n+1)/n)^{n^2} ist?

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Oh, richtig. Ein Denkfehler meinerseits. Jetzt sind wir wieder am Anfang :)

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Die Gleichung ∑ ((n+1)/n ) ⁿ = e ist natürlich falsch. Der Grenzwert der Summandenfolge ist e, nicht die Reihe darüber.

Mit dem Wurzelkriterium kommt man hier übrigens nicht auf 1, sondern kann eine Aussage treffen. Es genügt aber, wenn man sich ansieht, ob die Summanden eine Nullfolge bilden.

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Hm, mal überlegen... meine Umformung im ersten Schritt ist auch schon falsch.

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Omg, natürlich. Ich war im Hirn TOTAL auf ((n+1)/n ) ⁿ = e getrimmt. Dabei gilt das ja nur für die entsprechende Folge, was wiederum sagt, dass a_n keine 0-Folge ist, und damit schon eine Grundbedingung für Konvergenz der Reihe, dass a_n ein 0-Folge sein muss, verletzt.

Mit Wurzelkriterum ergibt 1 meinte ich, dass beim Anwenden der Wurzelkriteriums der Grenzwert lim->∞ (ⁿ√|an| )  = 1 ist und damit keine Aussage getroffen werden kann.

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Mit a_n meinst du ((n+1)/n)^n²?

Dann geht die n-te Wurzel aus a_n wie gesagt nicht gegen Eins...

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Ich habe das Wurzelkriterium jetzt mal durchgeführt und komme gerade auf den Grenzwert e, den du oben durch die Reihe angegeben hast.

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Hier mein Vorgehen mit dem Wurzelkriterium:

\( \sum\left(\frac{n+1}{1}\right)^{n^{2}} \)
\( \sqrt[n]{\left|\left(\frac{n+1}{1}\right)^{n^{2}}\right|}=\sqrt[n]{\left|\left(\frac{n+1}{1}\right)^{n}\right|} · \sqrt[n]{\left|\left(\frac{n+1}{1}\right)^{n}\right|}=\frac{n+1}{1} · \frac{n+1}{1} \)
\( \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\left(\frac{n+1}{1}\right)^{2}\right)=\lim \limits_{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n+1}{1}\right)^{2}=1^{2}=1 \)

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Was macht die Eins im Nenner? (und wieso setzt der Formeleditor eigentlich das n so hoch?)

Jedenfalls verwechselst du den Exponenten n² mit 2n. Beachte die Potenzgesetze!

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Das war auch mein Denkfehler: a hoch n² = a hoch n*n lässt sich nicht voneinander trennen. Wohl aber gilt n-te-Wurzel( a hoch n n ) = a hoch n.

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Also das mit den /1 ist jetzt doof. Soll natrürlich /n sein.

Aber ich war immer der meinung, dass ich  ((x)^n)^s)=x^ns schreiben kann.

Mit der Wurzel also hier sei nun X = (n+1)/n

n√(X)n2 = Xn21/2 =(Xn1/2) ^2

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Es ist x^n² = x^(n²) und nicht x^n² = (x^n)².

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Ah ok. Dankeschön!

Dann wäre es für mich trotzdem sehr Interessant, wie man das Wurzelkriterium hier KORREKT anwendet.

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Mit dem Potenzgesetz, das du oben zitiert hast, und der n-ten Wurzel als "hoch 1/n" kannst du es ja nochmal probieren. Das Ergebnis hat dir Mister schon genannt, an dem du dich orientieren kannst.

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Du ziehst die Wurzel aus a^{n^2}. a^{n^2} = a^{n*n}.

Die n-te Wurzel lässt sich auch als Exponentiation mit 1/n beschreiben: n-te-wurzel(b) = b^{1/n}.

Daraus folgt: n-te-wurzel(a^{n*n}) = a^((1/n)*n*n) = a^n.

So geht's :)

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Also wäre das dann so richtig?

\( \sqrt[n]{\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n^{2}}}=\left(\frac{n+1}{n}\right)^{n} \underset{n \rightarrow \infty}{n \longrightarrow e} \)

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Oui... (dem ist so)