> Zwischendurch komme ich auf y = (x + 1,5)2 -0,25
Dabei hast du die linke Seite der Gleichung nicht durch 3 geteilt.
> Wieso klammert man bei der Scheitelpunktberechnung die Zahl vor dem x2 aus und
Brauchst du nicht. Du darfst auch einfach durch 3 teilen. Das musst du aber, wie bei Gleichungen üblich, auf beiden Seiten der Gleichung machen:
$$\begin{aligned}y & =3x^{2}+9x+5 & & |\,:3\\\frac{y}{3} & =x^{2}+3x+\frac{5}{3} & & |\,-\frac{5}{3}\\\frac{y}{3}-\frac{5}{3} & =x^{2}+3x & & |\,+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\\\frac{y}{3}+\frac{7}{12} & =x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}\\\frac{y}{3}+\frac{7}{12} & =\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2} & & |\,-\frac{7}{12}\\\frac{y}{3} & =\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{7}{12} & & |\,\cdot3\\y & =3\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}-\frac{21}{12}\end{aligned}$$
> wieso teilt man bei der Nullstellenberechnung durch die Zahl vor dem x2.?
Weil sich der Term x2 + px leichter zu einem Binom ergänzen lässt als der Term ax2 + bx.
Beispiel was passiert, wenn man das nicht macht. In der Gleichung 0 = 3x2 + 9x + 6 soll x bestimmt. Die Gleichung kann umgeschrieben werden zu
0 = (√3·x)2 + 9x + 6
Sutrahiert man 6, dann bekommt man
-6 = (√3·x)2 + 9x.
In der binomischen Formel (a+b)2 = a2 +2ab + b2 wählt man jetzt a = √3·x.
Dann ist 2ab = 2·√3·x · b = 9x, also ist b = 9/(2√3). Quadratische Ergänzung liefert dann die Gleichung
(9/(2√3))2 - 6 = (√3·x)2 + 9x + (9/(2√3))2,
was sich mittels binomischer Formel zu
(9/(2√3))2 - 6 = (√3·x + 9/(2√3))2
zusammenfassen lässt. Wurzeln ergibt
±√((9/(2√3))2 - 6) = √3·x + 9/(2√3),
was sich vereinfachen lässt zu
±√(9/12) = √3·x + 9/(2√3),
Man subtrahiert nun 9/(2√3) und dividiert anschließend durch √3 und kommt so zu
± √(9/36) -9/(2·3) = x.
Wie du siehst ist dieses Verfahren zwar möglich, aber umständlich.
