Von der Polynomdivisison bekommen wir $$x^4-x^3-4x^2-3x-6=(x^3-2x^2-8x)(x+1)+6x^2+6x-6 \\ \Rightarrow \frac{x^4-x^3-4x^2-3x-6}{x^3-2x^2-8x}=x+1+\frac{6x^2+6x-6 }{x^3-2x^2-8x}$$
Den Bruch $$\frac{6x^2+6x-6 }{x^3-2x^2-8x}$$ kann man folgenderweise umformen:
Wir berechnen erstmal die Nullstellen des Nenners: $$x^3-2x^2-8x=0 \Rightarrow x(x^2-2x-8)=0 \Rightarrow x=0 , x=-2, x=4$$
Wir ordnen jeder Nullstelle ihren Partialbruch zu: $$\frac{6x^2+6x-6 }{x^3-2x^2-8x}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}+\frac{C}{x-4} \\ \Rightarrow \frac{6x^2+6x-6 }{x^3-2x^2-8x}=\frac{A(x+2)(x-4)+Bx(x-4)+Cx(x+2)}{x(x+2)(x-4)} $$
Wir berechnen die A, B und C und bekommen: $$\frac{6x^2+6x-6 }{x^3-2x^2-8x}=\frac{3}{4x}+\frac{1}{2(x+2)}+\frac{19}{4(x-4)}$$
Wir bekommen also dass $$g(x)=\frac{x^4-x^3-4x^2-3x-6}{x^3-2x^2-8x}=x+1+\frac{3}{4x}+\frac{1}{2(x+2)}+\frac{19}{4(x-4)}$$
Wir haben dann folgendes: $$F(x)=\int_1^x g(y)dy=\int_1^x \left(y+1+\frac{3}{4y}+\frac{1}{2(y+2)}+\frac{19}{4(y-4)}\right)dx \\ =\left [\frac{y^2}{2}+y+\frac{3}{4}\ln |y|+\frac{1}{2}\ln |y+2|+\frac{19}{4}\ln |y-4|\right ]_1^x \\ =\left [\frac{x^2}{2}+x+\frac{3}{4}\ln |x|+\frac{1}{2}\ln |x+2|+\frac{19}{4}\ln |x-4|\right ]-\left [\frac{1^2}{2}+1+\frac{3}{4}\ln |1|+\frac{1}{2}\ln |1+2|+\frac{19}{4}\ln |1-4|\right ] \\ =\left [\frac{x^2}{2}+x+\frac{3}{4}\ln |x|+\frac{1}{2}\ln |x+2|+\frac{19}{4}\ln |x-4|\right ]-\left [\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\ln 3+\frac{19}{4}\ln 3\right ] \\ =\left [\frac{x^2}{2}+x+\frac{3}{4}\ln |x|+\frac{1}{2}\ln |x+2|+\frac{19}{4}\ln |x-4|\right ]-\left [\frac{3}{2}+\frac{21}{4}\ln 3\right ] \\ =\frac{x^2}{2}+x+\frac{3}{4}\ln |x|+\frac{1}{2}\ln |x+2|+\frac{19}{4}\ln |x-4| -\frac{3}{2}-\frac{21}{4}\ln 3$$
