Majorantenkriterium: richtig Abgeschätzt?

Question

ich habe nun :

$$\sum_{n=1}^{\infty}{{\left(\frac {n+1}{{n}^{2}+3n}\right)}^{2}}=\frac{{\left(n+1\right)}^{2}}{\left({n}^{2}+3n\right)^{2}}=\frac {{n}^{2}+2n+1}{{n}^{4}+6{n}^{3}+{9n}^{2}}\le\frac{{n}^{2}+2{n}^{2}+{n}^{2}}{{n}^{4}+6{n}^{3}+{9n}^{2}}=\frac{4}{{n}^{2}+6{n}^{n}+9}\le\frac{4}{{n}^{2}}=4\cdot\frac{1}{{n}^{2}}=4\cdot\sum_{n=1}^{\infty}{{\frac{1}{{n}^{2}}<\infty}}$$

Ich habe jetzt diese Fragen:

1) Ist meine Abschätzung richtig?

2) Das Minorantenkriterium zeigt ja nur, ob eine Reihe divergiert und das Majorantenkriterium, ob die Reihe konvergent ist. Woher weiss ich den welches Kriterium ich anwenden soll bzw. was sind Indizen?

3) Wie erkenne ich die absolute Konvergenz?

Answer 1

∑ (n = 1 bis ∞) ((n + 1)/(n^2 + 3·n))^2 

< ∑ (n = 1 bis ∞ ) ((n + n)/(n^2))^2

= ∑ (n = 1 bis ∞) 4 / n^2

Die letzte Reihe konvergiert. Daher konvergiert auch die erste Reihe.

Comments

hallo Der_Mathecoach,

also ist mein Weg in Ordnung? Desweiteren geht es mir bei diesem Post vielmehr um die Fragen, die ich oben gestellt habe, also:

2) Das Minorantenkriterium zeigt ja nur, ob eine Reihe divergiert und das Majorantenkriterium, ob die Reihe konvergent ist. Woher weiß ich den welches Kriterium ich anwenden soll bzw. was sind Indizen? Ich verstehe immer noch nicht, wann ich welches Kriterium anwenden soll.

3) Wie erkenne ich die absolute Konvergenz?

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Naja. Eventuell hat du ja bereits eine Vermutung ob die Reihe konvergiert oder Divergiert. Das kann man meist mit den Kriterien gut lösen. Ansonsten kannst du natürlich beide Kriterien nacheinander anwenden. Zumindest, wenn du die Reihen sehr einfach abschätzen kannst.

Auch für die absolute Konvergenz kannst du die Konvergenzkriterien anwenden.