| f(x) - f(2) | < ε
Für δ1 kannst du ja von x ≥2 ausgehen, also gilt
<==> | 4 - 4| < ε Das gilt immer , also ist δ1 beliebig und von
Epsilon unabhängig, sagen wir mal δ1 = 1 .
Für δ2 kannst du von 1 ≤ x < 2 ausgehen, also gilt
<==> | 2*|x| - 4| < ε und hier ist |x| = x also
<==> | 2*x - 4| < ε und 2x liegt zwischen 2 und 4 , also
Betrag unerheblich
<==> 2*x - 4 < ε
<==> 2* ( x - 2 ) < ε
<==> x - 2 < ε / 2
also ist δ2 = ε / 2 eine mögliche Wahl .
damit ist auch f(Uδ) ⊆ f ( Uε) klar ; denn für x >2
ist ja nichts zu zeigen.
Also f stetig bei x=2 .
Es ist f(-1) = 0 und für jedes x > -1 ist f(x) = 2*|x|
In der Nähe von x=-1 hat das einen Wert von etwa 2, wenn
man also ε = 1 wählt, gibt es kein solches Delta. Denn wäre etwa
δ>0 ein solches Delta, dann würde auch jedes kleinere Delta
diese Bedingung erfüllen, also können wir von δ<1 ausgehen.
Dann ist z.B. für x = -1 + δ/2
x ∈ Uδ(-1) aber f(x) = 2* |-1 + δ/2 | und wegen -1 + δ/2 < 0
f(x) = 2* |-1 + δ/2 | = f(x) = 2* (1 - δ/2 ) = 2 - δ < 2.
Also f(x) ∉ U ε ( f(-1)) .
Also ist das f-Bild von Uδ(-1) nicht vollständig in U ε ( f(-1)) . q.e.d.
