Welcher im 1. Quadranten gelegene Punkt des Graphen von f(x)=4/x besitzt den kürzesten Abstand zum Ursprung?

Question

Wie berechnet man das? Kann mir das jemand erklären und hinschreiben?

Answer 1

Abstand

d² = x^2 + (4/x)^2 = (x^4 + 16)/x^2

d²' = 2·(x^4 - 16)/x^3 = 0 --> x = 2

f(2) = 4/2 = 2

Der Punkt (2|2) hat den kleinsten Abstand vom Ursprung.

Comments

Wie kommt man auf d² = x² + (4/x)² = (x⁴ + 16)/x²? Woher die 4, woher die 16?

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Kannst du mal x² + (4/x)² auf einen Bruch zusammenfassen? Du kannst aber auch erst die Summe ableiten und danach zusammen fassen.

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Also da bekomme ich 2x-(2x/x²) raus.

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Nein. Dann hast du dich vertan. Dann solltest du auf 2·x - 32/x^3 kommen. Stell mal deine Rechnung online.

Answer 2

Der Abstand eines Punktes \(P(x,y)\) hat die Entfernung \(e=\sqrt{x^2+y^2}\) zum Ursprung. In diesem Fall ist dann die Entfernung

$$e(x)=\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{x^2+\frac{16}{x^2}}$$

Um die kürzeste Entfernung zu berechnen, suche man einen Extrempunkt von \(e(x)\) - also muss man diesen Term nach \(x\) ableiten:

$$e'(x)=\frac{2x- 2\frac{16}{x^3}}{2\sqrt{x^2+\frac{16}{x^2}}}$$

\(e'(x)\) wird nur dann =0, wenn der Zähler =0 wird - also

$$2x_E- 2\frac{16}{x_E^3}= 0 \quad \Rightarrow x^{4}_E- 16= 0 \quad \Rightarrow x_{E_{1,2}}=\pm 2$$

Da der Punkt im ersten Quadranten liegen soll, kommt nur \(x_E=2\) in Frage. Der gesuchte Punkt ist:

$$P(x_E,y_E)=P(2,2)$$

Gruß Werner

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Wie kommst du auf die Entfernung e(x)? Könntest du das erläutern?

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Kleiner Tipp. Es langt den quadrierten Abstand zu minimieren. Wenn das Quadrat des Abstandes Minimal ist, dann ist auch der Abstand minimal.

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Die Entfernung \(e(x)\) berechnet sich einfach aus dem Satz des Pythagoras. Es gilt

$$e^2=x^2+y^2 \quad \Rightarrow e=\sqrt{x^2+y^2}$$

Der Tipp vom Mathecoach ist gut, das spart Rechnerei bei der Ableitung; aber das Ergebnis ist natürlich das selbe. Die Ableitung von \(e^2\) ist der Nenner im Bruch oben.

Gruß Werner

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siehe: ~plot~ 4/x ; f(x)=x; {2|2};[[-1|6|-1|4]] ~plot~

Answer 3

Die Entfernung ergibt sich aus dem Pythagoras

Comments

Für was steht eigentlich das e, das jeder benutzt, wenn ich fragen darf?

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Es ist eine willkürliche gewählte Bezeichnung.
e könnte für Entfernung stehen

Du kannst aber auch etwas anderes nehmen.

Wichtig ist das rechtwinklige Dreieck und die
Berechnung über den Pythagoras.

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Wichtig ist das rechtwinklige Dreieck und die Berechnung über den Pythagoras.

Nicht unbedingt.

Aus der Bedingung, dass die Normale durch den gesuchten Punkt  ( a | f(a) )  
durch den Nullpunkt verlaufen muss, ergibt sich

-1/ f '(a) ·(x-a) + f(a) |_x=0  =  0  also  a / f '(a)  +  f(a)  =  0 ,

was auf  (-4 / a^2) = 1 / (-4 / a^2)  und somit auf  a = 2  führt.