Zeigen Sie, dass der Ursprung ein Extremwert des Graphen ist.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion \( f \) mit \( f(x)=x^{3}-4 x^{2} \). Der Graph von f wird mit \( G_{f} \) bezeichnet.

a) Zeigen Sie, dass der Ursprung ein Extrempunkt von \( \mathrm{G}_{\mathrm{f}} \) ist.

b) Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente \( t_{1} \) an \( \mathrm{G}_{\text {f }} \) im Ursprung \( O(0 \mid 0) \).

c) Vom Ursprung \( O(0 \mid 0) \) aus wird eine weitere Tangente \( t_{2} \) an den Graphen \( G_{f} \) gelegt. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente \( t_{2} \) und den Berührpunkt \( B \).

Answer 1

f(x) = x^3 - 4·x^2

f'(x) = 3·x^2 - 8·x

 

Die Steigung zwischen dem Ursprung und einem Punkt des Graphen muss genau so groß sein wie die Stungung des Graphen in diesem Punkt

(f(x) - 0) / (x - 0) = f'(x)

(x^3 - 4·x^2) / x = 3·x^2 - 8·x

x = 2

t(x) = f'(2) * (x - 2) + f(2) = - 4·x

 

Skizze

Comments

Und wie kann man jetzt eine Gleichung für t2 aufstellen ???

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Das habe ich oben gemacht

t2(x) = - 4·x

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Ist der Rest der Aufgabe unklar ? Wie wird die Tangente unter b) aussehen? Kann man da nicht direkt eine einfache Tangentengleichung angeben?

Was musst du unter a) zeigen damit wir einen Extrempunkt haben? Wie lautet die Bedingung für einen Extrempunkt?

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a) ist glaube ich soweit klar, als Bedingung muss gelten f´=0

zu c)

die Gleichung für t2 ist aufgestellt, kann ich den den Berührungspunkt auch berechnen statt ihn abzulesen ?

 wie kann ich bei b) die Gleichung der Tangente t1 bestimmen ?

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Die x-Koordinate hast du bereits x = 2

Die Y-Koordinate f(2) musst du auch ausrechnen. Die f(2) kommt ja in der Tangentengleichung vor. Damit hast du direkt den Berührpunkt.

Könntest du in die Zeichnung direkt die Tangente im Ursprung einzeichnen ? Wie würde sie aussehen ? Du hast ja bereits gezeigt dass der Ursprung ein Extrempunkt ist. Was gilt für Tangenten in Extrempunkten?

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soweit ich weis, beträgt die Steigung von Tangenten in Extrempunkten=0. Es müsste sich bei der Skizze also um eine Gerade handeln die glich der y-Achse ist oder???

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Du meinst gleich der x-Achse. Ja das ist dann richtig. Also t(x) = 0

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ok also a) und b) sind jetzt klar geworden.

Kannst du nochmal versuchen mir zu erklären wie du auf die Rechnung und den Berührpunkt von t2 kommst ?

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Schau dir meine Skizze an. 

Die rote Tangente hättest du dir zunächst selber skizzieren können. Du solltest erkennen, das in dem Berührpunkt des Graphen die Steigung des Graphen exakt mit der Steigung einer Geraden durch den Ursprung und diesem Punkt übereinstimmt. Das nimmt man als Ansatz

(f(x) - 0) / (x - 0) = f'(x)

Der Rest ist jetzt nur noch einsetzen und Umformen. 

Du solltest selber versuchen mein Ergebnis schrittweise nachzuvollziehen. In meiner Rechnung fehlen Absichtlich ein paar Zeilen und beinhalten nur Ansatz und Lösung damit du selber dich daran versuchen kannst. Mein Ziel ist es hier nicht abschreibe fertige Aufgaben zu machen. Ein wenig Rechnen solltest du ja auch noch selber.

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ich will auch gar nicht fertig abschreiben sondern es verstehen, deswegen ja auch die Nachfragen.

Ich kann also einfach irgendeine beliebige Tangente durch den Ursprung zeichnen,die den Graphen berührt. Hier stimmen dann die Steigungen von Graphen und Tangente in dem Berührungspunkt überein.

Eine Lösung dieser Aufgabe ohne eine Skizze ist also nicht sinnvoll oder?

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Zeichne mal beliebige Geraden durch den Ursprung. Du wirst nur eine finden, die den Graphen berührt und nicht nur schneidet.
Das heißt unser Ansatz, der genau diesen Sachverhalt wiedergibt ist geeignet diese Tangenten zu finden.
es ist natürlich auch ohne Zeichnung möglich. Nur würdest du es dann vermutlich noch weniger verstehen.

Daher habe ich mal die Zeichnung gemacht.

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hi, vielen Dank für die Zeichnung, habe es auf jeden Fall verstanden, kannst du trotztem mal erläutern wie es ohne Skizze zu rechnen wäre ?

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Ich habe die Zeichnung in der Rechnung nicht verwendet.

Willst du die Tangente durch einen bestimmten Punkt P(Px|Py) an den Graphen bestimmen kann dein Ansatz immer wie folgt lauten:

(f(x) - Px) / (x - Py) = f'(x)

Dabei ist es auch egal wie die Funktion lautet. Man braucht sich dabei auch keine Skizze machen.

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habe jetzt soweit die Gleichung aufgestellt, um den Berührungspunkt zu errechnen :

x ³- 4x ²=(3x ²- 8x)*x

wäre nett wenn du das einmal schrittweise lösen könntest ?

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(x³ - 4·x²) / x = 3·x² - 8·x

Günstiger wäre es gewesen hier die linke Seite zu vereinfachen

x^3 / x - 4·x^2 / x = 3·x^2 - 8·x

x^2 - 4·x = 3·x^2 - 8·x

Eventuell jetzt nochmal beide Seiten durch x teilen

x - 4 = 3·x - 8

Das ist eine lineare Gleichung die du lösen kannst.