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Zwei unterschiedliche Pilze befallen einen Baum dessen Oberfläche 57260 cm2 beträgt.Pilz A bedeckt zu Beginn 3 cm2 der Oberfläche und wächst pro Tag 1%.Pilz B bedeckt zu beginn 50 cm2 und wächst pro Tag 58 cm2.Nach wieviel Tagen ist der ganze Baum mit Pilzen bedeckt wenn beide Pilze gleichzeitig wachsen. Wie kann ich diese Frage mathematisch lösen ?

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Hallo Geli,

ich schreibe x = t, dann muss ich nicht alles editierten :-)

Du suchst die Lösungen von

 3·1,01x + 50 + 58·x = 57260  (kann man nicht explizit nach x auflösen) 

also  die Nullstellen von

f(x)  =  3·1,01x + 50 + 58·x - 57260  

f(x)  =  3·1,01+ 58·x - 57210  

f '(x) = 3·(1,01)^x ·LN(1,01) + 58

Newtonverfahren:

Berechnen der Nullstellen von f(x)  (f muss differenzierbar sein) 

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

xneu =  xalt - f(xalt) / f ' (xalt)

Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast (hier gibt es nur eine, weil die Funktion f streng monoton steigend ist, denn f ' ist offensichtlich für alle x positiv).

Manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für xalt zum Beispiel eine  Extremstelle erwischt). Dann hilft oft ein anderer Startwert.

Je besser der Startwert, desto weniger Rechnung:

z.B  Startwert  x = 100

xf(x)f '(x)
100-51401,8855658,08074138
985,007393854083,88667596,9443255
894,406169616653,50209276,7873201
834,23902733259,006593178,2312707
815,953759188,4015907158,2305142
814,7630810,704178412157,050026
814,75859739,90706E-06157,0456069
814,75859720157,0456069


Startwert x = 800

xf(x)f '(x)
800-2215,506631143,5180525
815,4371286106,7877573157,7165869
814,76004220,226928141157,047031
814,75859721,02888E-06157,0456069
814,75859720157,0456069


Man kann natürlich auch mit einem normalen TR mit weniger Kommastellen rechnen.

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀
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Gesucht ist eine Anzahl t von Tagen. In t Tagen wächst Pilz A auf 3·1,01t cm2 und Pilz B auf 50+58·t cm2. Ansatz 3·1,01t + 50+58·t=5726. Nach 0 auflösen und Nullstelle mit GTR bestimmen.

Avatar von 123 k 🚀

was ist denn GTR

Ich suche nicht nach einer grafischen Lösung mit einem GTR

Dann musst du die Nullstelle mit einem Näherungsverfahren suchen (z.B. Newton oder Regula falsi..

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