Question

Zwei unterschiedliche Pilze befallen einen Baum dessen Oberfläche 57260 cm2 beträgt.Pilz A bedeckt zu Beginn 3 cm2 der Oberfläche und wächst pro Tag 1%.Pilz B bedeckt zu beginn 50 cm2 und wächst pro Tag 58 cm2.Nach wieviel Tagen ist der ganze Baum mit Pilzen bedeckt wenn beide Pilze gleichzeitig wachsen. Wie kann ich diese Frage mathematisch lösen ?

Answer 1

Hallo Geli,

ich schreibe x = t, dann muss ich nicht alles editierten :-) 

Du suchst die Lösungen von 

 3·1,01^x + 50 + 58·x = 57260  (kann man nicht explizit nach x auflösen) 

also  die Nullstellen von 

f(x)  =  3·1,01^x + 50 + 58·x - 57260  

f(x)  =  3·1,01^x + 58·x - 57210  

f '(x) = 3·(1,01)^x ·LN(1,01) + 58

Newtonverfahren:

Berechnen der Nullstellen von f(x)  (f muss differenzierbar sein) 

Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel

x_neu =  x_alt - f(x_alt) / f ' (x_alt)

Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast (hier gibt es nur eine, weil die Funktion f streng monoton steigend ist, denn f ' ist offensichtlich für alle x positiv).

Manchmal konvergiert das Verfahren nicht (wenn du für x_alt zum Beispiel eine  Extremstelle erwischt). Dann hilft oft ein anderer Startwert.

Je besser der Startwert, desto weniger Rechnung:

z.B  Startwert  x = 100

x	f(x)	f '(x)
100	-51401,88556	58,08074138
985,0073938	54083,88667	596,9443255
894,4061696	16653,50209	276,7873201
834,2390273	3259,006593	178,2312707
815,953759	188,4015907	158,2305142
814,763081	0,704178412	157,050026
814,7585973	9,90706E-06	157,0456069
814,7585972	0	157,0456069

Startwert x = 800

x	f(x)	f '(x)
800	-2215,506631	143,5180525
815,4371286	106,7877573	157,7165869
814,7600422	0,226928141	157,047031
814,7585972	1,02888E-06	157,0456069
814,7585972	0	157,0456069

Man kann natürlich auch mit einem normalen TR mit weniger Kommastellen rechnen.

Gruß Wolfgang

Answer 2

Gesucht ist eine Anzahl t von Tagen. In t Tagen wächst Pilz A auf 3·1,01^t cm² und Pilz B auf 50+58·t cm². Ansatz 3·1,01^t + 50+58·t=5726. Nach 0 auflösen und Nullstelle mit GTR bestimmen.

Comments

was ist denn GTR

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Ich suche nicht nach einer grafischen Lösung mit einem GTR

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Dann musst du die Nullstelle mit einem Näherungsverfahren suchen (z.B. Newton oder Regula falsi..