Eigenvektoren des Endomorphismus bestimmen

Question

Jede Hilfe bezüglich dieser Aufgabe wäre ein Segen. Mit meinem Ansatz komme ich leider nicht sehr weit.
an schlaue Köpfe!

-Carla

Answer 1

Hallo EG,

(i)

Ein Vektor (≠ Nullvektor) der nach der Hintereinanderausführung einer Drehung um 90° um die z-Achse und einer Drehung um 90° um die x-Achse  ein Vielfaches von sich selbst ergibt, muss ein Vielfaches von [1, 1, 1] sein.

Die Eigenvektoren sind also  [r, r, r]  mit r ∈ ℝ \ {0}

(ii)

          ⎡ 0  -1  0 ⎤        ⎡ 1  0   0 ⎤          ⎡ 0  0  1 ⎤

A  =   ⎢ 1   0  0 ⎥    *    ⎢ 0  0  -1 ⎥    =    ⎢ 1  0  0 ⎥

         ⎣ 0   0  1 ⎦         ⎣ 0  1   0 ⎦          ⎣ 0  1  0 ⎦

r = Eigenwert:

               ⎡ - r   0   1 ⎤

DET  (    ⎢  1  - r   0 ⎥  )     =  1 - r³  =  0    ⇔    r = 1

               ⎣  0   1  - r ⎦

⎡ -1   0   1 ⎤       ⎡ x ⎤           ⎡ 0 ⎤

⎢  1  -1   0 ⎥   *   ⎢ y ⎥    =     ⎢ 0 ⎥

⎣  0   1  -1 ⎦       ⎣ z ⎦           ⎣ 0 ⎦

⎡ z - x ⎤            ⎡ 0 ⎤

⎢ x - y ⎥     =     ⎢ 0 ⎥       ⇔    x - z = 0  und  y - z = 0

⎣ y - z ⎦            ⎣ 0 ⎦

⇔   [ x, y, ,z ]  =  [ r, r, r ]   mit  r  ∈ ℝ  

Gruß Wolfgang