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Servus..


ich muss die Ober und UNTERSUMME VON F(X)=x ausrechnen
weiß aber nicht wie das gehen soll ?


die rechtecke zum berechnen der ober u. untersumme haben die anzahl "N"
jetzt die frage: wie ist diue rechnung ??


danke schonmal
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2 Antworten

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Hi,

das ist total easy. Du musst einfach nur die Balken hinmalen und deren Fläche zusammenaddieren.

MfG

Mister
Avatar von 8,9 k
so weit bin ich auch..


aber es sollen ja "n" - balken sein also keine genaue anzahl .. und ich soll es per formel berechnen und leider nicht nur hinmalen und ablesen..
Dazu muss man noch wissen, in welchen Grenzen (auf der x-Achse) du die Ober- und Untersumme berechnen sollst.
Von 0 bis 1

        .


.
Dann beträgt die Fläche der Obersumme

O = (n (n+1)) / 2

und die der Untersumme

U = (n (n-1)) / 2.

Auf diese Idee kommt man, wenn man das Quadrat 1 x 1 in N x N kleine Quadrate aufteilt und sich überlegt, wieviele Quadrate davon die Fläche der Ober- und wieviele die Fläche der Untersumme einnehmen.

Man kann aber auch zum Test zum Beispiel mal N = 5 nehmen und dann versuchen, für beliebige N zu verallgemeinern. Oder N = 5, 7, und 9 zum Beispiel separat hinmalen und den Unterschied erkennen, bzw. das Prinzip durchschauen, usw. ...

MfG

Mister
wichtig ist ..... das die obersumme stehts größer ist wie die untersumme ..... da du bei der untersumme bei 0 anfängst und bei n-1 endest bei obersumme demnach von 1 bis n
@mister


wenn du mir jetzt noch die Rechnung geben kannst wie du da drauf gekommen bist ist es perfekt ;)
Naja, ich hab's ja schon beschrieben. Man kann sich das geometrisch vorstellen. Mehr hab' ich auch nicht gemacht.
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Annahme die Grenzen sind a und b und es gilt 0<a<b.

Nun haben die Rechtecke die Breite (b-a)/N

Für die Untersumme gilt:

UN = (b-a)/N (f(a) + f(a + (b-a)/N) + f(a + 2(b-a)/N) + ...... f(a + (N-1)(b-a)/N) )

Da f(x) = x: In der grossen Klammer die f alle weglassen.

 

UN = (b-a)/N (a + a + (b-a)/N + a + 2(b-a)/N + ......+ a + (N-1)(b-a)/N )

UN = (b-a)/N (Na  + (1+2+...+(N-1))(b-a)/N  )

Eine Klammer enthält eine arithmetische Reihe.  (1+2+...+(N-1)) = N(N-1)/2

UN = (b-a)/N (Na  + (N(N-1)/2)(b-a)/N  )

N kürzen, 2 verschieben

UN = (b-a)/N (Na  + (N-1)(b-a)/2  )

UN = (b-a)/N (Na  + Nb/2 - Na/2 - b/2 + a/2  )

N verschieben

UN = (b-a) (a  + b/2 - a/2 - b/(2N) + a/(2N)  )

UN = (b-a) (a/2  + b/2  - b/(2N) + a/(2N)  )

1/2 vor die Formel

UN = 1/2  (b-a) (a  + b - b/(N) + a/(N)  )      Fertig. 

ON im gleichen Stil noch selbst erstellen.

Kontrolle: Für N--> unendlich 

F = 1/2 (b-a)(a+b) = 1/2 b^2 - 1/2 a^2      

Das entspricht der Formel, die man beim bestimmten Integral braucht.

Avatar von 162 k 🚀

Zur Kontrolle: 

ON = (b-a)/N ( f(a + (b-a)/N) + f(a + 2(b-a)/N) + ...... f(a + (N-1)(b-a)/N) + f(a + N(b-a)/N )

Da f(x) = x: In der grossen Klammer die f alle weglassen.

ON = (b-a)/N (a + (b-a)/N + a + 2(b-a)/N + ......+ a + (N-1)(b-a)/N + a + N(b-a)/N )

ON = (b-a)/N (Na  + (1+2+...+N)(b-a)/N  )

Eine Klammer enthält eine arithmetische Reihe.  (1+2+...+N) = N(N+1)/2

ON = (b-a)/N (Na  + (N(N+1)/2)(b-a)/N  )

N kürzen, 2 verschieben

ON = (b-a)/N (Na  + (N+1)(b-a)/2  )

ON = (b-a)/N (Na  + Nb/2 - Na/2 + b/2 - a/2  )

N verschieben

ON = (b-a) (a  + b/2 - a/2 + b/(2N) - a/(2N)  )

ON = (b-a) (a/2  + b/2  + b/(2N) - a/(2N)  )

1/2 vor die Formel

ON = 1/2  (b-a) (a  + b + b/(N) - a/(N)  )  

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