Annahme die Grenzen sind a und b und es gilt 0<a<b.
Nun haben die Rechtecke die Breite (b-a)/N
Für die Untersumme gilt:
UN = (b-a)/N (f(a) + f(a + (b-a)/N) + f(a + 2(b-a)/N) + ...... f(a + (N-1)(b-a)/N) )
Da f(x) = x: In der grossen Klammer die f alle weglassen.
UN = (b-a)/N (a + a + (b-a)/N + a + 2(b-a)/N + ......+ a + (N-1)(b-a)/N )
UN = (b-a)/N (Na + (1+2+...+(N-1))(b-a)/N )
Eine Klammer enthält eine arithmetische Reihe. (1+2+...+(N-1)) = N(N-1)/2
UN = (b-a)/N (Na + (N(N-1)/2)(b-a)/N )
N kürzen, 2 verschieben
UN = (b-a)/N (Na + (N-1)(b-a)/2 )
UN = (b-a)/N (Na + Nb/2 - Na/2 - b/2 + a/2 )
N verschieben
UN = (b-a) (a + b/2 - a/2 - b/(2N) + a/(2N) )
UN = (b-a) (a/2 + b/2 - b/(2N) + a/(2N) )
1/2 vor die Formel
UN = 1/2 (b-a) (a + b - b/(N) + a/(N) ) Fertig.
ON im gleichen Stil noch selbst erstellen.
Kontrolle: Für N--> unendlich
F = 1/2 (b-a)(a+b) = 1/2 b^2 - 1/2 a^2
Das entspricht der Formel, die man beim bestimmten Integral braucht.