Wieso ist dies linear unabhängig? Gaußisches Verfahren mit 3 Vektoren

Question

Wir müssen bei einer Hausaufgabe die lineare Unabhängigkeit von 3 Vektoren prüfen. Dabei habe ich das Gausische Verfahren angewendet. Wenn die untere Linie in der Matrize überall Null ist dann ist es linear abhängig, wenn nicht dann unbhängig. Wieso ist dies so ? Was steckt dahinter ?

Aufgabe war (1,2,3), (4,5,6) , (-2,8,3): Prüfen Sie ob  ... linear unabhängig sind.

Dabei bin ich von r(1,2,3) + s(4,5,6) + u(-2,8,3) = 0 auf r = 0; s = 0; und u = 0; gekommen. => linear unabhängig.

Aber wieso sind dann diese Vektoren linear unabhängig ?

Answer 1

Aufgabe war (1,2,3), (4,5,6) , (-2,8,3): Prüfen Sie ob  ... linear unabhängig sind. 

Vereinfacht kann ich hier auch so rechnen

r * [1,2,3] + s * [4,5,6] = [-2,8,3]

r + 4s = -2
2r + 5s = 8

II - 2*I

- 3·s = 12 --> s = -4

r + 4*(-4) = -2 --> r = 14

Anhand der letzten Gleichung prüfen

3*(14) + 6*(-4) = 18 ≠ 3 --> Die Vektoren sind linear unabhängig.

Comments

Okay, das ist mir klar, aber wieso ist bei dem Gaußischen Verfahren wenn nicht alle 0 sind linear unabhängig ? Verstehe das einfach nicht woher diese Regel kommt. Muss ich das einfach akzeptieren?

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Die Vektoren U, V und W sind linear abhängig wenn die Gleichung

a*U + b*V + c*W = 0

außer der Triviallösung a = b = c = 0 noch weitere Lösungen besitzt.

Man könnte auch das Spatprodukt bilden und schauen ob es gleich 0 ist. Auch dann sind die Vektoren linear abhängig.

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([1, 2, 3] ⨯ [4, 5, 6])·[-2, 8, 3] = 45 --> Linear unabhängig