Komplexe Zahlen Beweis: genau dann Re(z+1/z)=0, wenn Re(z)=0

Question

Ich habe leider keine Ahnung, wie ich folgende Aufgabe lösen soll.

Zeigen Sie: Für z ∈ ℂ, z ≠ 0, gilt genau dann

$$ \quad Re(z\quad +\quad \frac { 1 }{ z } )\quad =\quad 0, $$ wenn $$ \quad Re(z)\quad =\quad 0\quad $$ gilt.

Das einzige was mir dazu einfällt ist, dass es eine "genau dann, wenn"-Aussage ist, also das man es von beiden Seiten zeigen muss. Also '⇒' und '⇐'.

Meine erste Idee war folgendes: $$\quad Re(z\quad +\quad \frac { 1 }{ z } )\quad =\quad Re(\frac { z }{ 1 } \quad +\quad \frac { 1 }{ z } )\quad =\quad Re(\frac { { z }^{ 2 } }{ z } +\frac { 1 }{ z } )\quad =\quad Re(\frac { { z }^{ 2 }+1 }{ z } ),$$ aber ich habe keine Ahnung, ob mir das irgendwas bringt.

Ich wäre sehr dankbar über jede Hilfe!

Comments

Tipp: \(\operatorname{Re}(z)=\tfrac12(z+\overline z)\).

Answer 1

setze z.B z=a+ib:

$$ Re(z+1/z)=Re(z)+Re(1/z)=a+Re(1/(a+ib))=a+Re((a-ib)/(a^2+b^2))\\=a+a/(a^2+b^2)=0\\a(a^2+b^2)+a=0\\a[1+(a^2+b^2)]=0\\\to a=Re(z)=0 $$