Überprüfen, ob Menge abgeschlossen, kompakt oder offen ist. Bsp. M2 = {(x, y) ∈ R^2 : x + y^2 + xy = 1}.

Question

Überprüfen Sie, ob folgende Mengen offen, abgeschlossen oder kompakt sind

M1 = {(x, y) ∈ R ^2 : x^4 + y ^4 ≤ 1}

 M2 = {(x, y) ∈ R^ 2 : x + y^ 2 + xy = 1}.

Kann mir da einer bitte weiterhelfen ?

Danke

Answer 1

M1 sieht begrenzt und kompakt aus (Inneres eines "gequetschten Kreises inklusive Rand": https://www.wolframalpha.com/input/?i=x%5E+4+%2B+y%5E4+%E2%89%A4+1

Die Punktmenge M2 besteht aus 2 sich schneidenden Geraden:

x + y^ 2 + xy = 1 

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x+%2B+y%5E2+%2B+xy+%3D+1 

Auf die Lösungen kommst du indem du in der Gleichung darüber den Faktor (y+1) ausklammerst.

x(y+1) + (y-1)(y+1) = 0

(x + y -1)(y+1) = 0      | Faktoren 0 setzen.

1. Lösung y = - 1

2. Lösung y = -x + 1 

Nun musst du dich noch um die Eigenschaften der zweiten Menge kümmern.