Vektorraum der Matrizen mit Det=0

Question

Hi,

ich soll nachprüfen ob die Menge der Matrizen mit det (A)=0 einen Vektorraum bilden.

Die 0-matrix ist ja in der Menge enthalten. Darum ist diese nicht leer.

Jetzt kann ich aber zeigen, dass die Matrix A= {(1,0),(0,0)} und die Matrix B={(0,0),(0,1) in der Menge enthalten sind, da det(A)=det(B)=0.

Allerdings ist die det(A+B) nicht in der Menge enthalten, da det(A+B)=1

=> Menge ist kein Vektorraum

liege ich hier richtig?

Answer 1

Hallo HH,

du liegst richtig, wenn man die Vektorraumverknüpfung + , die in der Aufgabenstellung nicht weiter angegeben ist  einfach mal so unterstellt.

Außerdem handelt es sich nicht um die "Menge der Matrizen mit ... ", sondern um die Menge der Matrizen der Form  A^2x2 .mit  ....

Für allgemeine Matrizen mit det(A) = 0   wäre + so ja nicht definierbar.

Gruß Wolfgang

Answer 2

gute Arbeit ... Deine Idee ist in der Tat richtig. Es bleibt aber noch die Frage nach der genauen Spezifikation Deiner Matrizen, z.B.: $$\mathbb{R^{2\times2}}, \mathbb{R^{3\times3}}, ..., \mathbb{R^{n\times n}}$$

Ich gehe aber einmal davon aus, dass $$2\times2-\text{Matrizen}$$

gemeint sind, oder? Die Beweisidee wäre für die genannten Dimensionen analog.

Gruß

André