> zeige ich das dann einfach schon durch das berechnen der Ableitung?
Die Produktregel besagt: Wenn g und h differenzierbare Funktionen sind, und f eine Funktion mit f = g·h ist, dann ist f differenzierbar und es gilt f' = g'h + h'g.
Beachte dabei insbesondere, dass die Differenzierbarkeit von f nicht Teil der Prämisse ist, sondern Teil der Konklusion. Ähnlich verhält es sich bei den anderen Ableitungsregeln.
Beachte auch, dass die Differenzierbarkeit von g und h Teil der Prämisse sind. Natürlich darf man auch bei
f(x) = √(x2) · sin(x)
sagen, dass
f'(x) = 1/(2√(x2))·2x · sin(x) + √(x2) · cos(x)
ist. Aber die Produktregel alleine gibt einem noch nicht das Recht, f' in diesem Fall als Ableitung von f zu bezeichnen, weil der Faktor √(x2) nicht differenzierbar ist.