Wenn man eine partielle Ableitung berechnet hat, ist dann schon partielle Diffbarkeit gezeigt?

Question

Hey ho,

einfache Frage:

Wenn ich eine Aufgabe habe, in der unter anderem gezeigt werden muss, dass eine Funktion partiell diffbar ist, zeige ich das dann einfach schon durch das berechnen der Ableitung? Dann existiert ja der gesuchte Grenzwert und per Def. ist das diffbar oder?

Weitere Frage:

Ist diese Funktion partiell diffbar? bzw. wie weise ich das nach? Für (x,y) ≠ (0,0) ist das ja klar. Wie zeige ich jetzt, dass die gesamte Funktion partiell diffbar ist?

Und wenn wir schon dabei sind, weiß jemand wie ich zeige, dass die Ableitungen stetig sind?

LG

Answer 1

> zeige ich das dann einfach schon durch das berechnen der Ableitung?

Die Produktregel besagt: Wenn g und h differenzierbare Funktionen sind, und f eine Funktion mit f = g·h ist, dann ist f differenzierbar und es gilt f' = g'h + h'g.

Beachte dabei insbesondere, dass die Differenzierbarkeit von f nicht Teil der Prämisse ist, sondern Teil der Konklusion. Ähnlich verhält es sich bei den anderen Ableitungsregeln.

Beachte auch, dass die Differenzierbarkeit von g und h Teil der Prämisse sind. Natürlich darf man auch bei

        f(x) = √(x²) · sin(x)

sagen, dass

        f'(x) = 1/(2√(x²))·2x · sin(x) + √(x²) · cos(x)

ist. Aber die Produktregel alleine gibt einem noch nicht das Recht, f' in diesem Fall als Ableitung von f zu bezeichnen, weil der Faktor √(x²) nicht differenzierbar ist.