f - s und f' - s' abschätzen mit Mittelwertsatz der Differentialrechnung

Question

Hey:)

Ich weiß nicht genau, wie ich des zeigen soll...

Hoffe, ihr könnt mir da helfen:)

Answer 1

Hi,
$$  | f(x) - s(x) | = \left| f(x) - f(a) - \frac{f(b) - f(a)}{b-a}(x-a) \right| = \\ \left| f'(x_0)(x-a) -f'(x_1)(x-a) \right| = | f''(\xi)(x_0 - x_1) | \cdot  | x - a| \le \\\sup_{y \in [a,b]} |f''(y)| (b-a)^2 $$

Daraus folgt
$$ \left| \int_a^b (f(x) - s(x)) dx \right| \le \sup_{y \in [a,b]} |f''(y)| (b-a)^3 $$

Comments

Ich hätte da noch ein paar Fragen.

1) x ist doch f(a) +...(x-a). Also wieso ersetzt s(x) durch f(a) +...(x-a)?

2) Woher kommt das x0. Und wieso ist das die Ableitung f'(x0)?

Gleiche gilt für den hinteren Teil

3) wie kommst du auf die zweite Ableitung?

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Hi,

1) Es ist nich \( x = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \) sondern es ist \( s(x) = f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \\ \). \( s(x) \) ist doch die Abblidung die \( x \) auf \(  f(a) + \frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a) \) abbildet.

2) \( f(x) - f(a) = f'(x_0) (x-a) \) nach dem Mittelwertsatz Differentialrechnung. Und der sagt, dass ein solches \( x_0 \in [x, a ] \) existiert.

3) Anwenden des Mittelwertsatztes der Differentialrechnung auf die erste Ableitung.

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Wie kommst du genau drauf?

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$$  \left | \int_a^b (f(x) - s(x) ) dx  \right | \le \int_a^b | f(x) - s(x) | dx \le \\ \int_a^b  \sup_{y \in [a,b]} |f''(y)| (b-a)^2 dx \le \sup_{y \in [a,b]} |f''(y)| (b-a)^3 $$

Die andere Frage solltest Du separat stellen.

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EDIT: c) befindet sich nun hier: https://www.mathelounge.de/451797/trapezregel-beim-integral-taylor-c

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Das ist der Mittelwertsatz

Und jetzt versteh ich nicht wie du von f(x)-f(a) auf f'(x0)(x-a) kommst

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Rechne den Mittelwertsatz (die Gleichung mit dem Bruch) auf beiden Seiten " mal (b-a) "

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 Woher kommt hier das (x-a) bei f'(x0) her?

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Lies nochmals meinen Kommentar.

Oder vorher: Ersetze im Mittelwertsatz b durch x und ξ durch x0.

Dann gemäss meinem Kommentar vor 18 Stunden vorgehen.