Korrelation von Zufallsvariablen

Question

Zwei stetige ZV X und Y sind negativ korreliert.

Var(X - Y) <= Var(X + Y)

Ist das immer wahr, immer falsch oder keines von beiden ?

Var(X + Y) <= Var(X) + Var(Y)

Ist das immer wahr, falsch oder keines von beiden ?

Answer 1

Sind zwei Zufallsvariablen negativ korreliert, so ist auch die Kovarianz negativ. Daher gilt die Ungleichung

$$Var(X - Y) \\= Var(X + -Y) \\= Var(X) + Var(-Y) + 2\cdot Cov(X, -Y) \\=Var(X) + Var(Y) - 2 \cdot Cov(X, Y)\\ > Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y) \\= Var(X + Y)$$

Die erste Aussage ist also falsch.

Und wegen

$$Var(X + Y)  = Var(X) + Var(Y) + 2 \cdot Cov(X, Y)$$

ist die zweite Aussage nur für nicht-positiv korrelierte Zufallsvariablen gültig.