Question

Für z= 1/2 + i(√3/2) finden Sie die minimale natürliche Zahl n, für die zⁿ = 1 gilt.

Answer 1

(1/2+√3/2·i)²= -1/2+√3/2·i

(1/2+√3/2·i)·(-1/2+√3/2·i)= - 1 = z³

(z³)²=1 Also n=6

Comments

Kannst du deine Lösung bitte erläutern?
Eigentlich sollte doch gemäß Aufgabenstellung  (1/2 + i √3/2)² = 1 sein oder?

Wenn ich dann die bin.Formel anwende komme ich auf:

<=> 1/4 + 2i√3/2 -3/2 = 1

<=> 2i√3/2 -5/4=1

(...)

und da der Imaginärteil nicht wegfällt, kann ja nicht 1 rauskommen oder? 

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Eigentlich sollte doch gemäß Aufgabenstellung  (1/2 + i √3/2)² = 1 sein oder?

Nein, es ist die kleinste natürliche Zahl n gesucht, sodass   (1/2 + i √3/2)ⁿ = 1.

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Ja genau das meine ich. Deshalb verstehe ich leider nicht deinen Ansatz

(1/2+√3/2·i)²= -1/2+√3/2·i  und wieso da -1 rauskommt.

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Das ist nur ein Zwischenergebnis. zunächst erhält man  (1/2+√3/2·i)²= -1/2+√3/2·i. Damit erhält man im nächsten Rechenschritt z²·z= z³= - 1 und das Quadrat von z³ (nämlich (z³)²=z⁶) ist dann 1.

Die Frage wurde übrigens von certi gestellt, der mit der Antwort offensichtlich etwas anfangen konnte.

Answer 2

es ist z=e^{i*π/3}

z^n=e^{i*π*n/3}=1

--> πn/3=k*2*π ,k∈ Z/

n=k*6

nmin=6 (n=0 ausgeschlossen)