zufallsgröße x binomialverteilt, n ist gesucht, der zweite Parameter soll bestimmt werden

Question

Aufgabe

n gesucht

Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit dem Parameter p = 0,25.

Bestimmen Sie den zweiten Parameter n als möglichst kleine Zahl, sodass gilt:

a) P(X = 0) ≤ 0,05

b) P(X ≤ 1) ≤ 0,1

c) P(X = n) ≤ 0,01

d) P(X ≤ 2) ≤ 0,025

Könnt ihr mir einmal einen Lösungsweg aufzeigen und erklären, ich weiß gar nicht wie man das machen soll. Habe auch einen Grafiktaschenrechner

Comments

Na, welchen Grafiktaschenrechner hast du denn?

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Casio fx-CG20

Answer 1

a) P(X=0)= (nüber0)= 0,25^0*0,75^n= 0,75^n <=0,05

n>= ln0,05/ln0,75

b)

P(X<=1) = P(X=0)+P(X=1)

P(X=1)= (nüber1)*0,25^1*0,75^0 = n*0,25

...

c) P(X=n) = (nübern)*0,25^n*0,75^0 = 0,25^n<=0,01 ...

d) P(X<=2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)

P(X=2) = (nüber2)*0,25^2*0,75^{n-2}

(nüber2) = n*(n-1)/2 ...

Answer 2

Nimm die Formel für die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Bionomialverteilung und stelle sie nach n um. Bei (a) erhalte ich 10.4, also 11.

Answer 3

Du kannst die Befehlsvariante \(BinomialCD\left(a,b,n,p\right)\) verwenden. Darin sind die Argumente a, b und p durch die jeweilige Aufgabe festgelegt und das gesuchte n lässt sich leicht durch Ausprobieren ermitteln.

Der Rechner bietet noch etliche weitere Möglichkeiten, Aufgaben wie diese zu lösen.

Answer 4

a)

P(X = 0) ≤ 0.05

(1 - 0.25)^n ≤ 0.05

n ≥ LN(0.05)/LN(1 - 0.25) = 10.4

n ≥ 11

b)

P(X ≤ 1) ≤ 0.1

(1 - 0.25)^n + n·0.25·(1 - 0.25)^{n - 1} ≤ 0.1

Das kann leider nur numerisch gelöst werden.

n ≥ 15

c)

P(X = n) ≤ 0.01

0.25^n ≤ 0.01

n ≥ LN(0.01)/LN(0.25) = 3.3

n ≥ 4

d)

P(X ≤ 2) ≤ 0.025

(1 - 0.25)^n + n·0.25·(1 - 0.25)^{n - 1} + n·(n - 1)/2·0.25^2·(1 - 0.25)^{n - 2} ≤ 0.025

Das kann leider nur numerisch gelöst werden.

n ≥ 27