Wir definieren die Funktion f durch
f: ℝ↦ℝ, x↦ { sin(1/x), falls x≠0 0, falls x=0
(a) Beweisen Sie, dass die Funktion g : ℝ↦ℝ, x → xf(x) stetig ist.
(b) Skizzieren Sie den Graphen von f.
(c) Skizzieren Sie den Graphen von g.
Hallo Certi,
a)
Zu zeigen ist limx→0 [ x * sin(1/x) ] = 0 = g(0)
wegen x → 0 und -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 ist das richtig.
b)
Der Graph oszilliert mit der Amplitude 1 und die Frequenz nimmt bei Annäherung an x=0 zu.
c)
Der Graph oszilliert und die Frequenz nimmt dabei bei Annäherung an x=0 zu.
Die Amplitude nimmt bei Annäherung an x=0 ab.
Gruß Wolfgang
Hallo Wolfgang!
Wie genau bist du darauf gekommen, dass gezeigt werden muss, dass x*sin(1/X) = 0 ist wenn x gegen 0 konvergiert?
weil f(0) = 0 ist, ist g(0) auch = 0 ?
und woher weißt du das -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 ?
> weil f(0) = 0 ist, ist g(0) auch = 0 ?
Ja, weil 0 * 0 = 0 gilt :-)
> woher weißt du dass -1 ≤ sin(1/x) ≤ 1 ?
sin( "irgendetwas in ℝ Definiertes" ) liegt immer in [ -1 ; 1 ]
Danke für die schnelle antwort!
Macht es dann sinn die stetigkeit mit dem folgekriterium zu beweisen oder eher mit dem links und rechtsseitigen grenzwerten ?
Ich denke ein epsilon delta beweis wäre hier doch sehr umständlich oder?
( sorry ich tu mich mit den stetigkeits beweisen noch etwas schwer und weiss nie genau welche art von stetigkeitsbeweis ich anwenden soll, bzw. woran ich das erkenne)
Der Nachweis limx→xo f(x) = f(x0) ist wohl meist am einfachsten zu handhaben.
(ggf. mit links- und rechtsseitigem GW)
Ein anderes Problem?
Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos