Grenzwert einer Integralfunktion

Question

Ich soll zeigen:

lim_x↓0    ∫_x ^2x  f(t)/t dt = f(0)*ln(2) 

Würde es genügen, wenn man die Stammfunktion bildet, also F(t)*ln(t) und dann die grenzen einsetzt und x gegen Null laufen lassen würde?

Comments

Erstens kannst Du keine Stammfunktion \(F\) von \(f\) ausrechnen, weil \(f\) nicht konkret gegeben ist. Zweitens -- und noch viel schlimmer! -- ist \(F(t)\ln t\) keine Stammfunktion von \(f(t)/t\).

Verwende stattdessen den Mittelwertsatz der Integralrechnung.

Answer 1

Es würde genügen, wenn du die Stammfunktion bildest und dann die Grenzen einsetzt und x gegen Null laufen lässt.

Comments

Ich habe versucht die Stammfunktion zu bilden. Nur werden die Terme nur komplizierter und führen mich nicht zu einer eindeutigen Lösung.

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Es ist nicht notwendig, die Stammfunktion zu bilden und dann die Grenzen einzusetzen und x gegen Null laufen zu lassen. Es würde aber genügen.

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Welche andere Methode gibt es diese Aufgabe zu lösen?

Als Beweis reicht es ja aber nicht aus zu zeigen wie man die Aufgabe löst.

Answer 2

Wenn man \( f(t)  \) in eine Taylorreihe erster Ordnung entwickelt folgt \( f(t) = f(0) + f'(\xi) x \) mit \( \xi \in [0, t ] \), also

$$ \lim_{x \to 0} \int_x^{2x} \frac{ f(t) }{ t } dt = \lim_{x \to 0} \int_x^{2x} \frac{f(0) + f'(\xi) t }{ t } dt = \lim_{x \to 0} \left[ f(0) ( \ln(2x) - \ln(x)) +f'(\xi) x \right ]  = f(0) \ln(2) $$