Lösung des Anfangswertproblems: y* y'/ (1-y² ) =1/x , y(1)= -5

Question

y*y'/(1-y²) =1/x

 y(1)=-5

Wie gehe ich diese Aufgabe an, bin mir da nicht ganz sicher.

Comments

EDIT: Fehlende Klammern um den Nenner in der Frage ergänzt. Nur so kann die im Kommentar unten erwartete Funktion resultieren.

Answer 1

y·y' / (1 - y^2) = 1/x

y / (1 - y^2) dy/dx = 1/x

y / (1 - y^2) dy = 1/x dx

∫ y / (1 - y^2) dy = ∫ 1/x dx

∫ y / (1 - y^2) dy = ∫ 1/x dx

- LN(y^2 - 1)/2 = LN(x) + C

1/√(y^2 - 1) = D·x

√(y^2 - 1) = 1/(D·x)

y^2 - 1 = 1/(D·x)^2

y^2 - 1 = E / x^2

y^2 = (x^2 + E) / x^2

y = ± √(x^2 + E) / x

Nun sollten die Lösungen geprüft werden sowie dann die Anfangsbedingung benutzt werden um die genaue Funktion zu erhalten.

Comments

y = ± √(x² + E) / x          y(1)=-5

y(1)= ± √(1² + E) / 1 =-5

So in etwa richtig?
Soll dann die Gleichung aufgelöst werden, oder so belassen?

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y = ± √(x^2 + E) / x

y(1) = ± √(1^2 + E)/1 = -5

Richtig. Zunächst solltest du sehen, dass das Vorzeichen vor der Wurzel negativ sein muss

-√(1^2 + E)/1 = -5

√(1^2 + E) = 5

1^2 + E = 25

E = 24

also

y = -√(x^2 + 24) / x

Mist. Ich hab eigentlich schon wieder viel zu viel gemacht.