Komplexe Gleichungen lösen: z^4 = (1 + i√(3))^2

Question

hallo ich soll folgende komplexe gleichung lösen

\( z^{4}=(1+i \sqrt{3})^{2} \)
\( z^{5}=-8 z^{2} i \)

 

dies ist mein ansatz. leider komme ich aber nicht weiter. die erste müsste ja 4 lösungen haben

die zweite dann 5 (?).

hier sind meine ersten versuche

a) \( z^{4}=(1+i \sqrt{3})^{2} \)
$$ \begin{array}{l} {z^{4}=1+2 i \sqrt{3}-3} \\ {z^{4}=-2+2 i \sqrt{3}} \\ {z_{1,2}=\pm \sqrt{-2+2 i \sqrt{3}}} \end{array} $$
b) \( 2^{5}=-8 z^{2}i \)
\( z^{2}\left(z^{3}+8 i\right)=0 \quad-v_{z_{1}}=0 \)
\( z^{3} =-8 i \)
\( z_{2} =\sqrt[3]{-8 i} \)

bin für jeden tipp dankbar

Answer 1

 Hallo blu me,

deine Wurzeln aus komplexen Zahlen sind nicht eindeutig bestimmt und werden deshalb wohl als Lösungen nicht akzeptiert :-)

1)    z⁴  =  ( 1 + √3 · i )²   =   - 2 + 2·√3 · i  

Hier eine allgemeine Anleitung, wie man eine solche Gleichung lösen kann:

Lösung der komplexen Gleichung  zⁿ = w     [ n ∈ ℕ , n ≥ 2 ]   

           Hier:   n=4  ,  w = -2 + 2·√3 · i  , also a = - 2  und  b = 2·√3

w hat dann eine der Formen  w  =  a + i · b  = r · e^i ·φ  =  r · ( cos(φ) + i · sin(φ) )  [ oder w muss in eine solche umgerechnet werden ].

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ_w  kann man dann direkt ablesen oder aus folgenden Formeln berechnen:

r = √(a² +b²)  und  φ_w = arccos(a/r) wenn b≥0   [  - arccos(a/r) wenn b<0 ] .

Die n Werte z_k  für z = ⁿ√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1, ... , n-1

aus der Formel    z_k = ⁿ√r · [ (cos( (φ_w + k · 2π) / n ) + i · sin( (φ_w + k · 2π) / n ) ] 

[ Die Eulersche Form ist  jeweils  z_k =  ⁿ√r · e^{i·(φw+k·2π)/n} ]

 Kontrolllösungen:

z = - √6/2 - √2·i/2  ∨  z = √6/2 + √2·i/2  ∨  z = - √2/2 + √6·i/2  ∨  z = √2/2 - √6·i/2

(die z-Werte sind nicht nummeriert, weil mein Rechner die Lösungen nicht in der Reihenfolge angibt, in der man sie gemäß Anleitung errechnet.) 

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2)   z⁵  = - 8z² · i    ⇔    z⁵ + 8z² · i  = 0  ⇔   z² · (z³ + 8i) = 0

        ⇔  z = 0   oder  z³ = - 8i

       z³ = - 8i   wie bei 1)

Kontrolllösungen:     z = 0   ∨   z = - √3 - i   ∨   z = √3 - i   ∨   z = 2·i

Gruß Wolfgang

Comments

also bei der b ) bekomme ich

z = √3 + i    v   z = - √3 + i    v    z = - 2 i   v    z = √3 - i raus
plus oben z = 0 

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Rechne alle deine "Lösungen" hoch drei und kontrolliere so, ob eine falsch ist.

z^3 = a

hat für a≠ 0 immer genau 3 komplexe Lösungen (sog. Wurzeln). In der komplexen Zahlenebene bilden die richtigen Lösungen ein gleichseitiges Dreieck.

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hab meinen fehler gefunden. muss - arccos verwenden da b < 0.

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Genau so ist es.

Deshalb die genaue Anleitung für alle Fälle :-)

Answer 2

Warum nicht folgendermassen ?

z^4 = (1 + i√(3))^2 

z^2 = ±(1 + i√(3)) 

|z^2| = 1 + 3 = 4

|z| = 2

1. Fall +

arg(z) = arctan(√(3)/1) = 60° = π/3

z1 = 2* e^{iπ/6}

z2 = 2* e^{i7π/6}

2. Fall -

arg(z) = arctan(√(3)/1) + 180° = 240° = 4π/3

z3 = 2* e^{i4π/6}

z4 = 2* e^{i10π/6}

Nun z1, z2, z3, z4 in kartesische Koordinaten umrechnen.

Schau mal, ob so die gleichen Resultate herauskommen.