Es muss eine 3×2-Matrix \(M := \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{32}&a_{32}\end{pmatrix}\) sein.
Es muss \(\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\a_{32}&a_{32}\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3x_2\\0\\x_1 - \sqrt{2}x_2\end{pmatrix}\) für alle \(x_1\), \(x_2\) gelten.
Rechne die linke Seite aus. Zerlege die Vektorgleichung komponentenweise in ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Bestimme in diesem Gleichungssystem \(a_{11}\), \(a_{12}\), \(a_{21}\), \(a_{22}\), \(a_{32}\) und \(a_{32}\) so, dass in den Lösungen unabhängig von \(x_1\) und \(x_2\) sind.
Beispiel. Die zweite Gleichung des Gleichungssystems besagt \(a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = 0\). Auflösen nach \(a_{21}\) liefert \(a_{21} = -\frac{a_{22}x_2}{x_1}\). Diese Gleichungs kann nur dann für alle \(x_1\neq 0\), \(x_2\) gelten, wenn \(a_{22} = 0\) ist. Also muss \(a_{22} = 0\) sein. Dann muss aber auch \(a_{21} = 0\) sein. Einsetzen dieser Lösungen in die Gleichung \(a_{21}x_1 + a_{22}x_2 = 0\) ergibt, dass diese Gleichung dann auch für \(x_1=0\) gilt.
