Zeigen, dass f umkehrbar ist und Ableitung der Umkehrfunktion in f(0|1) berechnen. f(x,y) = (sin(x+y),exp(xy))

Question

Hallo liebe Mathefreunde,

Habe die Musterlösung, verstehe alle Rechenschritte. Nur leider fehlt mir das "Wieso mach ich das so?" und ich möchte ungern nach Schema F auswendig lernen.

Teil 1: Umkehrbarkeit bestimmen.

Ich nehme mal an eine Funktion ist umkehrbar, wenn die Determinante ungleich Null ist. Kann man sich merken, doch was bedeutet das und warum ist das so? Wie kann ich mir das vorstellen? Hat das irgendwas mit Monotonie zutun?

Teil 2: Berechnung der Ableitung der Umkehrfunktion.

Ich habe zuerst die Ableitung der Funktion gebildet, also Jacobimatrix. Diese Invertiert. Fertig.

Meine Frage hierzu nun: Ist die Umkehrfunktion einfach das Inverse der Funktion selbst? Kann ich in diesem Fall auch die Umkehrfunktion NICHT von der Ableitung bestimmen? Wenn ja, wie geht das? Ist es egal ob ich zuerst ableite und dann die Umkehrfunktion bilde oder erst die Umkehrfunktion bilde und dann ableite?

LG

Answer 1

"Ich nehme mal an eine Funktion ist umkehrbar, wenn die Determinante ungleich Null ist. Kann man sich merken, doch was bedeutet das und warum ist das so? "
Dies ist eine direkte Anwendung des Umkehrsatzes aus Analysis 2.

"Ist die Umkehrfunktion einfach das Inverse der Funktion selbst?"
Ja, aber beschränkt auf der offenen Menge der Punkte s.d. die Jacobimatrix auf dieser Menge invertierbar bleibt. (det nicht 0)

"Ist es egal ob ich zuerst ableite und dann die Umkehrfunktion bilde oder erst die Umkehrfunktion bilde und dann ableite?"
Ja, das ist auch Umkehrsatz. Die inverse Matrix der Jacobimatrix von f im Punkt x ist die Jacobimatrix der beschränkten Umkehrfunktion von f im Punkt f(x). Von daher ist es egal.