Wie berechne ich die Ableitung von (2+3*e^x)/(1+e^x)?

Question

f(x) = (2+3e^x)/(1+e^x)

Davon soll die erste Ableitung und die Elastizität bestimmt werden.

Ich habe bereits die Quotientenregel ausgerechnet und bekomme den (noch nicht zusammengefassten) Ausdruck:

f'(x) = (3e^x * (1+e^x)- e^x*(2+3e^x))/ (1+e^x)^2

bzw. 3e^x/ (1+e^x)  -  e^x*(2+3e^x) /(1+e^x)^2

Wie kann ich den unteren Term zusammenfassen? Also wie werden die Brüche gleichnamig gemacht ? In dem ich den linken quadriere ?

Answer 1

$$ \begin{array}{l}{y=\frac{2+3 e^{x}}{1+e^{x}}} \\ {u=2+3 e^{x} \quad v=1+e^{x}} \\ {u^{\prime}=3 e^{x} \quad \quad v^{\prime}=e^{x}}\end{array}\\ \begin{array}{l}{y^{\prime}=\frac{u^{\prime} v-u v^{\prime}}{v^{2}}} \\ {y^{\prime}=\frac{\left.3 e^{x}\left(1+e^{x}\right)-\left[(2+3 e^{x}\right) \cdot e^{x}\right]}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}} \\ {y^{\prime}=\frac{3 e^{x}+3 e^{2 x}-2 e^{x}-3 e^{2 x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}} \\ {y^{\prime}=\frac{e^{x}}{\left(1+e^{x}\right)^{2}}}\end{array} $$                                                    

Comments

Manchmal sieht man wirklich die einfachsten Sachen nicht.

Habe jetzt nur wieder das Problem mit der Elastizität, rechne ich hier mit der ganz normalen Formel x * f'(x) / f(x) oder gibt es wegen den Doppelbrüchen eine umgeformte Formel ?

Bis jetzt hatten wir als Elastizität immer eine Zahl oder eine normale Funktion, aber nie einen Bruch, was mit etwas verwirrt.

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Du kannst die normale Formel nehmen.

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Wenn ich richtig gerechnet habe müsste da

(x * e^x) / (2+5e^x+3e^x^2)

rauskommen. Ist das richtig ?

Vielen Dank für deine Hilfe!

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meine Rechnung: