f:(0,∞) --> R, f(x,y)= x^y in e-Funktion umschreiben mit ln?

Question

mein prof hat folgende Funktion umgeschrieben:  f:(0,∞) --> R, f(x,y)= x^y

diese Funktion hat er umgeschrieben zu e^yln(y)

meine frage ist wie kommt man auf diese Umschreibung ?

Comments

 " e^yln(y) "  ?

Aus dem x kann eigentlich nicht einfach ein y werden :)

Answer 1

Interessanterweise kommen die definierenden Identitäten bei dieser Aufstelllung zum Logarithmus gar nicht vor:

https://www.matheretter.de/wiki/logarithmus#gesetze 

Logarithmieren und Potenzieren hängen zusammen.

Betrachte die Definition im Link.

Setze das n oben bei Potenz ein:

Nun hast du die Identität

a ^ ( log_(a)(z)) = z               , für z>0. Ergänzung ist nötig, damit der Logarithmus auch definiert ist. Ausserdem a>0. 

a darf e sein.

e ^ log_(e)(z)) = z 

Also:

e^ (ln(z)) = z 

Comments

Da fehlt doch eine 2

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Möchtest du sie noch ergänzen oder meinst du vielleicht:

log_(a) ( a^n) = n ?

Nachtrag: Habe das gerade entdeckt als 4. Logarithmengesetz im Link.

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²                                

Answer 2

Hallo NumeroUno,

e^y·ln(x)  =_Potenzregel  (e^ln(x))^y  =  x^y  , da die e-Funktion die Umkehrfunktion von ln ist.

Gruß Wolfgang

Answer 3

Hier meine Umformungen