Frage zur partikulären Lösung von Differentialgleichungen: Beispiel: y'=1/x * y + 3 mit y(1)= 1

Question

Hallo liebe Mathefreunde,

wenn ich ein Anfangswertproblem einer inhomogenen DGL habe berechne ich jaerst die Homogene Lösung und mache dann Variation der Konstanten und erhalte ein c(x).

Meine Frage nun:

Was ist hier nun die allgemeine Lösung der DGL mit der ich das AWP lösen kann?

Vorschlag 1: Ich setze c(x) in die homogene Lösung ein und das ist schon meine allgemeine Lösung. Dann berechne ich halt c indem ich den Anfangswert einsetze.

Vorschlag 2: Ich berechne y(x) durch die partikuläre Lösung plus die homogene Lösung. Sähe dann so aus: die partikuläre Lösung ist quasi die allgemeine Lösung aus Vorschlag 1. ich muss aber die partikuläre Lösung plus die homogene Lösung rechnen und damit erst den anfangswert einsetzen.

Welcher Vorschlag ist richtig?

Beispielaufgabe:

y'=1/x * y + 3

y(1)= 1

LG

Answer 1

hier der allg. Ablauf:

Comments

Hallo Grosserloewe,

Frage zu Schritt 3:
Warum keine Konstante? Müsste das nicht eigentlich c(x) = 3*ln(x)+c sein?

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Mein Professor damals und auch andere Leute haben es ohne Konstante geschrieben.

Schreib die Konstante hin, dann bist du auf der sicheren Seite.

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Okay, danke.

Dahingehend würde sich aber doch mein Ergebnis verändern, oder etwa nicht? Ich hätte doch noch nach dem einsetzen von c(x) in yh für yp= 3ln(x)x+cx

Also gesamtlösung: y(x) = 3ln(x) + cx + cx

also y(1) = 3ln(1) +2cx = 2c

--> c=1/2

Wo ist der Denkfehler?

In meiner Musterlösung wurde schon bei yp das AWP angewandt, nämlich so:
yp(x), bzw. in der Musterlösung wurde es schon an dieser Stelle einfach nur y(x) genannt:

y(x) = 3ln(x)x + c --> yp(1) = 3ln(1)*1+c --> c=1

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C(x)=  3 ln|x| +K (beliebig wählbar)

y=C(x) * x

y= (3 ln|x| +K ) *x

y=3 ln|x| *x  +K *x

Schritt 5 entfällt dann.

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Danke dir, Grosserloewe!!

Dein DickerFisch :-)