Differenzenquotient, nur h im Nenner?

Question

Steht gerade etwas auf dem Schlauch beim Versuch den Differentialquotienten zu verstehen.

Ich weiß dass die Steigung einer Geraden bzw. der Sekanten durch zwei Punkte mit dy/dx ausgerechnet wird.

Aber warum steht im Nenner dann nur das h? Warum nicht ein x?

$$\frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right)  }{ h } $$

Answer 1

Hallo \(\int\),

das hängt mit der Bedeutung von dem \(h\) zusammen. Du lässt den Abstand \(h\) gegen \(0\) laufen (nicht gegen \(x_0\) wie in der anderen Definition). Willst Du z.B. \(f(x)=x^2\) ableiten, rechnest Du:

\(f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}{\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}} = \lim_{h\rightarrow 0}{\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}{\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}}=\lim_{h\rightarrow 0}{2x+h} =2x\)

Eine einfache Erklärung, wie man sich das \(h-\)Kalkül vorstellen kann, findest Du hier:https://www.youtube.com/watch?v=VSH-oiBqsao
Hilft Dir das weiter?
André

Answer 2

Ein Bild sagt ( hoffentlich ) mehr als
1000 Worte.

Answer 3

Hi, es wurde der Anfang weggelassen. Mit dem Anfang sieht es so aus:

$$ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right)  }{ \left( x+h \right) - x } = \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right)  }{ h } $$