Realteil und Imaginärteil von (1+i)^83

Question

ich soll den Real und Imaginärteil der komplexen Zahl herausfinden.

z= (1+i)⁸³

Ich hab dazu folgende Formel Re(z) = (z + z*)/2

Also (z+ das komplex konjugierte von z) durch 2.

Im(z) = (z-z*)/2i

Ohne die Hochzahl wäre es ja leicht abzulesen.

Re(z)=1

Im(z) =1 

Answer 1

x= 1 + i  hat den Betrag √(1² + 1² ) =  √2   also hat es hoch 83 genommen 

den Betrag (   √2 )⁸³ = 2^41,5  bzw  2⁴¹* √2 .

Und der Winkel von x mit der positiven reellen Achse ist 45°.

Also hat z den Winkel 83*45° = 3735° = 135°

Hätte z den Betrag 1, wären also 

Re(z1 ) =arccos(135°) =  - 0,5*√2   und    Im(z1 ) =arcsin(135°) =  0,5*√2

Das noch mal  2⁴¹* √2   damit der Betrag stimmt, gibt 

Re(z ) = - 0,5*√2  *  2⁴¹* √2  =  - 2⁴¹  und entsprechend   Im(z ) =  2^{41   .}

Comments

 >  - 0,5*√2  *  2⁴¹* √2  =  - 2⁴⁰       [  - 2⁴¹ ] 

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Danke,  korrigiere ich.  Das Rechnen mit Zahlen fällt mir manchmal schwer.

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Weil aber der Betrag √2 ist, gilt:

Re(z)= -(√2 )⁸²

Im (z)= (√2 )⁸²

^Oder?

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Nee, der Einheitsvektor zu z ,  also z / |z| hat den 

Re-Teil  0,5*√2  

und den musst du dann mit |z| =   2⁴¹* √2  

malnehmen.

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Wieso brauch ich den Einheitsvektor?

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Meine Idee war:

Welchen Winkel bildet z mit der pos. reellen Achse ?

Und welchen  Re- und Im-Teil hat dann der entsprechende

Einheitsvektor.

Den dann mal den Betrag, gibt das Ergebnis.

Geht sicher auch anders.

Answer 2

Was haben wir hier?

A: Eine Komplexe Zahl und dessen Potenz. Man geht vor indem man den Betrag von Z ausrechnet, dieser setzt sich aus a und (j)b zusammen. Man rechnet also 

|Z| = sqrt(1^2+^2)=sqrt(2)

Als nächstes wird der Tanges von fi berechnet, dazu Imaginärteil dividiert durch Realteil. Anschließend überfuhrt man das in die berühmte Eulerform.

 Exkurs und BSP:

Benötigte Formeln:

$$ { z }^{ n }={ |z| }^{ n }{ e }^{ i*n*fi }={ |z| }^{ n }(cos(n*fi)+isin(n*fi)) $$ Satz von Moivre

$$ { (1+i) }^{ 8 }={ |\sqrt { 2 } | }^{ 8 }*(cos(8*\frac { pi }{ 4 } +jsin(8*\frac { pi }{ 4 } ))=16 $$

Wichtig ist einzuordnen, in welchem Quadranten, die Komplexe Zahl liegt, hier ist das einfach gleich im ersten Quadranten (45°)