Konvergenz von rekursiv definierter Folge zeigen. a_(n+1):=√(a_(n)+2), a_(1):=√(2). Warum gilt an+1≤an⇔ 0 ≤ an2-an-2?

Question

Konvergenz von rekursiv definierten Folgen zeigen. 

ich habe die die rekursiv definierte Folge: $${ a }_{ n+1 }:=\sqrt { { a }_{ n }+2 } \quad mit\quad dem\quad Startwert\quad { a }_{ 1 }:=\sqrt { 2 }$$Ich soll beweisen, dass diese Folge konvergiert.

Um es knapp zu halten: Der mögliche Grenzwert wurde in der Musterlösung berechnet. Dieser ist 2. Gezeigt wurde das dann mit der voll. Ind. Bis jetzt habe ich alles verstanden. 
Das zeigen der Monotonie verstehe ich allerdings nicht so ganz.a_n+1≤a_n⇔ 0 ≤ a_n²-a_n-2  
Warum gilt nun die Konvergenz gegen 2? 
In der Musterlösung steht, dass die obige Ungleichung gilt, da a_n≤2. 
Aber für 1 gilt sie doch nicht, da 0 nicht kleiner gleich 1²-1-2=-2 ist.
Meine Frage ist: Warum gilt die  obige Ungleichung?
Danke...

Comments

Zur Monotonie: Für \(0< a_n<2\) gilt \(a_n^2-a_{n+1}^2=(a_n+1)(a_n-2)<0\).

Answer 1

Verstehst du die Umformung der Ungleichung nicht oder , warum der Grenzwert 2 ist?

2 = √(4) ist bekannt? 

Also gilt

2 = √(2+2) 

Nun Eigenschaften der Wurzelfunktion (diese ist z.B. monoton wachsend)

y = √(x+2) . Falls x zwischen 0 und 2 ist, ist auch y zwischen 0 und 2.

Nun kommt die Rekursion. 

Aus dem y wird immer wieder ein x, mit dem ein neues y berechnet wird.

Wenn man zu Beginn mit einer Zahl x kleiner als 2 angefangen hat, kommt man nie auf ein y, das grösser als 2 ist. So weit nun klarer?

" Aber für 1 gilt sie doch nicht, da 0 nicht kleiner gleich 1²-1-2=-2 ist. "

Schaue genauer hin und überlege nochmals, was in diesem Beweis genau gemacht wurde. Du hast mit x=√2 gestartet und Monotonie offenbar bewiesen. Dann kann ja nicht plötzlich ein y = 1  < √2 herauskommen. 

Falls immer noch unklar, zeigst du am besten mal die Musterlösung. Wir können die dir schlecht erklären, wenn wir sie nicht sehen. 

Comments

"Verstehst du die Umformung der Ungleichung nicht oder , warum der Grenzwert 2 ist?"

Verstehen tuhe ich beides. Was ich nicht verstehe ist, warum aus 0 ≤ a_n²-a_n-2 die Monotonie folgt, also warum 0 ≤ a_n²-a_n-2 ist. Warum gilt diese Ungleichung?

In der Musterlösung steht, dass die obige Ungleichung gilt, da a_n≤2. Für 2 gilt sie ja, da 0≤0. Aber für z.B. 1 (wegen a_n≤2 ?) nicht, da 0 nicht kleiner  gleich -2 ist.

Danke.

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Der Teil mit der Monotonie:

(In der Musterlösung ist glaube ich ein Tippfehler bei 0 ≤ a_n²-a_n-2)

Schaue genauer hin und überlege nochmals, was in diesem Beweis genau gemacht wurde. Du hast mit x=√2 gestartet und Monotonie offenbar bewiesen. Dann kann ja nicht plötzlich ein y = 1  < √2 herauskommen.

Also dürfen wir für a_n nicht einfach Werte einsetzen, die kleiner gleich 2 sind, sondern a₁, a₂, a₃... ? Selbst dann würde die Ungleichung nicht stimmen. Muss man hier für a_n immer die obere Schranke bzw. den Grenzwert einsetzen. Denn dann stimmt das.  

Danke.

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Hallo  bun12,

die Folge ist monoton wachsend, dann gilt a(n+1) >= a(n) und nicht umgekehrt, wie in dem Bild.

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Danke gorgar. Dann ist im Bild bereits in der ersten Zeile ein Druckfehler.

@bun12. Drehe mal alles um und schaue, ob du so dann die richtigen Vorzeichen für eine passende quadratische Ergänzung bekommst (das ist das, was die dort versucht haben). Selbstverständlich darfst du die Ungleichung so zeigen, wie es für dich am einfachsten ist. Du brauchst nicht falsche Musterlösungen zu korrigieren.

"Also dürfen wir für a_n nicht einfach Werte einsetzen, die kleiner gleich 2 sind, sondern a₁, a₂, a₃... ? "

Richtig. Du musst die Ungleichung ja nur für die gegebene rekursive Folge beweisen und sonst für nichts. 

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Danke Lu und gorgar, jetzt macht es etwas mehr Sinn. Also ist die ganze Musterlösung falsch? 

Und letzte Verständnisfrage, die ich beim lösen ähnlicher Aufgaben brauche:

Wenn eine Folge nach oben beschränkt ist, zeigt man, dass sie monoton wachsend ist.

Also a_n+1 ≥ a_n

Wenn eine Folge nach unten beschränkt ist, zeigt man, dass sie monoton fallend ist.

Also a_n+1 ≤ a_n

So richtig?

Danke.

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Hallo bun12

Wenn eine Folge nach oben beschränkt ist, zeigt man, dass sie monoton wachsend ist.

Nein, eine nach oben beschränkte Folge kann auch monoton fallend und nach unten unbeschränkt sein.

1) Ist eine monoton fallende Folge nach unten beschränkt, dann ist
sie auch nach oben, z.B. durch das erste Folgenglied, beschränkt. Dann ist die Folge also beschränkt, weil sie nach unten und nach oben beschränkt ist.

2) Ist eine monoton wachsende Folge nach oben beschränkt, dann ist sie auch nach unten beschränkt, z.B. durch das erste Folgenglied. Die Folge ist beschränkt, weil sie nach unten und nach oben beschränkt ist.

Ich habe mich an einen vollständigen Beweis gewagt und poste den als Antwort.
Beste Grüße
gorgar

Answer 2

Hallo bun12

Behauptung: \( a_n \leq 2 \) für alle \( n \in \mathbb{N} \). Beweis durch vollständige Induktion. Für \( n_0 = 1 \) ist \( a_1 = \sqrt{2} < 2 \). Der Induktionsanfang gilt. Induktionsvoraussetzung: \( a_n \leq 2 \) sei für ein \( n \geq 1 \) bereits bewiesen. Induktionsschritt: Zu zeigen ist \( a_n \leq 2 \Rightarrow a_{n+1} \leq 2 \) .
\( a_{n+1} = \sqrt{a_n+2} \leq \sqrt{2+2} = 2 \leq 2 \), denn die Wurzelfunktion ist streng monoton wachsend und nach Induktionsvoraussetzung gilt \( a_n \leq 2 \). Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion folgt \( a_n \leq 2 \) für alle \(n \in \mathbb{N} \). Es folgt die Beschränktheit der Folge, denn sie ist nach oben durch \(2\) und nach unten durch z.B. \(a_1\) beschränkt.

Behauptung: Die Folge ist monoton wachsend, es gilt also \( a_{n+1} >= a_{n} \) für alle \(n\).
Auch das zeigen wir durch vollständige Induktion.
\(n_0 = 1 \)
\( a_2 = \sqrt{a_1+2} = \sqrt{\sqrt{2}+2} > \sqrt{2} = a_1 \) Denn die Wurzelfunktion ist streng monoton wachsend und es gilt \( \sqrt{2} + 2 > 2 \). Mit \( a_2 > a_1  \) gilt der Induktionsanfang.
Induktionsvoraussetzung: \( a_{n+1} \geq a_{n} \) gilt für ein \( n \geq 1 \).
Induktionsschritt: Es ist zu zeigen, dass \( a_{n+2} >= a_{n+1}  \)  aus  \(a_{n+1} >= a_{n}  \) folgt.
\( \frac{a_{n+2}}{a_{n+1}} = \frac{\sqrt{a_{n+1}+2}}{\sqrt{a_n+2}} > 1 \), denn nach Induktionsvoraussetzung gilt \(a_{n+1} > a_n \). Es gilt mit dem Prinzip der vollständigen Inkdukion \( a_{n+1} > a_{n}  \)für alle \(n\). Die Folge ist beschränkt und monoton wachsend, mit dem Monotonieprinzip ist sie konvergent, d.h. es existiert ein Grenzwert.

Der Grenzwert ist
\( a = \lim_{n\to\infty}a_{n+1} =  \lim_{n\to\infty} \sqrt{a_n + 2} = \sqrt{\lim_{n\to\infty}a_n+2} = \sqrt{a + 2}  \)
\(a = \sqrt{a + 2}\\ a^2 = a+2\\ a^2-a-2=0 \Rightarrow a_1 = 2, a_2 = -1 \).
Da alle Folgenglieder positiv sind, ist der Grenzwert \( a = 2\).

Beste Grüße
gorgar