Zweiter x-Wert bei cos-Funktion?

Question

5cos(2x+1) =4 liefert mir einen x wert, der zweite fehlt mir noch.

x_(1) = -0.178249446+kπ

wie finde ich den und gehe ich bei sin und tan gleich vor ?

Answer 1

Hallo limonade,

cos(2x+1) = 4/5 = 0,8

innerhalb eines Periodenintervalls  der Länge 2π gibt es immer 2 Werte, die den gleichen Kosinus haben.

Wegen der Symmetrie der Kosinusfunktion zur y-Achse hat mit jedem  a  auch - a  den gleichen Kosinuswert, wie du an deiner Zeichnung leicht siehst.

cos(2x+1) = 4/5 = 0,8

⇔  2x + 1 =  ±  arccos(0,8)  + k · 2π     | -1

⇔  2x  =  ± arccos(0,8) - 1  + k · 2π      | : 2 

⇔    x  =  1/2 · ( ± arccos(0,8) - 1 )  +  k · π     [ k ∈ℤ ]

       x  ≈   1/2 · ( ± 0.6435011087 - 1 ) +  k · π

       x  ≈ - 0.1782494456 + k · π   oder   x  ≈  - 0.8217505543 +  k · π

Jetzt muss  man ggf. nur noch durch Probieren die passenden k finden, wenn x in einer eingeschränkte Definitionsmenge liegen soll ( oft D = [0,2π] ) .

Gruß Wolfgang

Comments

Also wenn ich die Gleichung löse, muss ich immer plus/minus rechnen sobald ich den arccos gemacht habe ?

Im normalfall hätte ich Ja nur mit + weiter gemacht....

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Wenn du alle Lösungen haben willst ja.

(Der Vorschlag von Lu geht natürlich auch)

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Den von Lu habe ich nicht verstanden :-/

Also was heisst alle Lösungen, ich brauche jeweils x1 und x2

und kann ich so auch bei der sinus, tangens funktion vorgehen ?

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> Also was heisst alle Lösungen, ich brauche jeweils x1 und x2

Da sich die Lösungen alle π (Periode) wiederholen gibt es halt unendlich viele Lösungen, die du aus x₁ und x₂ direkt berechnen kannst.

> und kann ich so auch bei der sinus, tangens funktion vorgehen ?

Leider nein,

Bei sin ist x₂ = π - x₁ ,  tan ist innerhalb einer Periode eindeutig, da brauchst du kein x₂

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perfekt, das merke ich mir so und übe das.

Vielen Dank ! :)

Answer 2

Für den zweiten Wert diese Zeile:

2x+1 = arccos(0.8)

ändern zu

2x+1 = 2π  -  arccos(0.8) 

Darauf kommt man anhand der Symmetrie der Kurve, die zu gezeichnet hast.

Bei Sinus und Tangens zeichnest du auch zuerst die Graphen und überlegst dir dann die weiteren Werte.