Wie binomische Formel rückwärts anwenden bei mehreren Gliedern?

Question

Ich hoffe jemand kann mir hier helfen.

Es geht um Binome rückwärts anwenden, also :

x^2 + 4x + 4 zu (x + 2)^2

Da kann man ja einfach :

a^2 = x^4

a = x^2

b^2 = 4

b = 2 (-2 nicht hier wichtig!)

2ab = 4x

2 * x * 2 = 4x

4x = 4x

(x + 2)^2

Jetzt gibt es aber dieses Beispiel :

x^4 + 8x^3 + 26x^2 + 40x + 25

Lösung ist : (x^2 + 4x + 5)^2

Jetzt muss ich ja a, b und c bestimmen.

a^2 = x^4

a = x^2

b^2 = ?

? = ?

c^2 = 25

c = 5

Ich konnte a und c bestimmen, aber b nicht.

Weiß jemand vielleicht wie ich b bestimmen könnte ?

Ich weiß man könnte auch zerlegen, aber davon bin ich kein großer Fan.

Danke !

Comments

Es ist

x⁴ + 8x³ + 26x² + 40x + 25 =

(x⁴ + 26x² + 25) + (8x³ + 40x)

Versuch mal, die Klammern einzeln zu faktorisieren. Vielleicht kannst du später noch was ausklammern!

Answer 1

Es gilt dass $$(a+b+c)^2=a^2 + 2 a b + b^2 + 2 a c + 2 b c + c^2$$ Wir wollen die Werte von a,b,c bestimmen sodass $$x^4+8x^3+26x^2+40x+25=(a+b+c)^2=a^2 + 2 a b + b^2 + 2 a c + 2 b c + c^2$$ Wir haben dass $$x^4+8x^3+26x^2+40x+25=(x^2)^2+8x^3+26x^2+40x+5^2$$ Wir setzen a=x^2 und c=5 dann haben wir folgendes: $$(x^2)^2+8x^3+26x^2+40x+5^2=(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot b + b^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5 + 2\cdot  b \cdot 5 + 5^2$$ Rechts haben 6 Terme und links 5, daher müssen wir links ein Term als Summe von zwei Terme schreiben, sodass der eine Terme ein Quadrat ist, also das b². Wir schreiben den Term 26x² gleich 10x²+16x² = 10x²+(4x)²: $$(x^2)^2+8x^3+10x^2+(4x)^2+40x+5^2=(x)2)^2 + 2 x^2 b + b^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5 + 2 \cdot b \cdot 5 + 5^2$$ Das b ist dann also das 4x: $$(x^2)^2+8x^3+10x^2+(4x)^2+40x+5^2=(x^2)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 4x + (4x)^2 + 2 \cdot x^2 \cdot 5 + 2 \cdot 4x\cdot  5 + 5^2$$ Wir bekommen also $$x^4+8x^3+26x^2+40x+25=(x^2+4x+5)^2$$

Answer 2

x⁴ + 8x³ + 26x² + 40x + 25
soll entsprechen
( ax^2 + bx + c )^2
direkt ersichtlich
a = 1
c = 5
( x^2 + bx + 5 )^2  | ausmultiplizieren
x^4 + b*x^3 + 5x^2 + bx^3 + b^2x^2 + 5bx + 5x^2 + 5bx + 25
zusammenfassen
x^4 + 2bx^3 + ( 10 + b^2 ) * x^2 + 10bx + 25
Vergleich mit
x⁴ + 8x³ + 26x² + 40x + 25
2b = 8  => b = 4
10 + b^2 = 26  => b = 4
10b * 40  => b = 4

stimmt also alles
( x^2 +4x + 5 )^2

Comments

Entschuldigung wenn ich störe, aber ich hab noch eine Frage.

x^6 + 18x^4 + 16x^3 + 81x^2 + 144x + 64

Hier möchte ich b bestimmen, aber es funktioniert nicht mit dem Koeffizientenvergleich.

Was sollte ich jetzt tun ?

Danke.

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Entschuldigung wenn ich störe, aber ich
hab noch eine Frage.
Du kannst jederzeit Fragen stellen.
Dazu ist das Forum da.

( a * x^3 + b * x + c ) ^2
a = 1
c = 8
( x^3 + b * x + 8 ) ^2

ausmultipliziieren und zusammenfassen
x^6 + 2 b x^4 + 16 x^3 + b^2*x^2 + 16bx + 64
vergleichen mit
x^6 + 18 * x^4 + 16 * x^3 + 81 * x^2 + 144 * x + 64

2b = 18   => b = 9
b^2 = 81  => b = 9
16b = 144  => b = 9

b = 9.  Passt also alles.
( x^3 + 9 * x + 8 ) ^2

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x⁶ + 18x⁴ + 16x³ + 81x² + 144x + 64

Hier möchte ich b bestimmen, aber es funktioniert nicht mit dem Koeffizientenvergleich.

Ich nehme an, du möchtest das Polynom in die Form (p(x)^2) bringen, vielleicht, weil das bereits Teil der Aufgabenstellung ist. Ein passender Ansatz wäre dann

(x^3 + bx^2 + cx + 8)^2

Nun muss aber x^3*bx^2 + bx^2*x^3 = 2bx^5 = 0

gelten, weswegen b = 0 sein muss und der einfachere Ansatz

(x^3 + cx + 8)^2

genügt. Weiter folgt wegen

cx * cx = (cx)^2 = 81x^2

leicht c = 9 und wir sind fertig.

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Vielen Dank euch beiden. Jetzt leuchtet es mir ein.