Dein Ansatz zur Substitution ist völlig legitim. Sei also \(\sqrt{x}=u\). Dann gilt:
\(\frac{du}{dx}=\frac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\Longleftrightarrow 2\sqrt{x}du=dx\)
Du musst jedoch die Integrationsgrenzen anpassen. Die untere Grenze ist \(u(1)=\sqrt{1}=1\) und die obere \(u(r)=\sqrt{r}\). Das setzt Du dann ein und erhältst: $$\int_{1}^{\sqrt{r}}{\frac{e^{-u}\cdot 2\sqrt{x}}{\sqrt{x}}}du=2\cdot\int_{1}^{\sqrt{r}}{e^{-u}}du=-2\cdot \left[e^{-u}\right]_1^{\sqrt{r}}$$ Die Rücksubstitution ergibt: $$-2\cdot \left[e^{-\sqrt{x}}\right]_1^{r}=-2\cdot (e^{-\sqrt{r}}-e^{-\sqrt{1}})=\frac{2}{e}-\frac{2}{e^{\sqrt{r}}}$$ Mit \(r\longrightarrow \infty\) gilt: $$\lim_{r\rightarrow \infty}{\frac{2}{e}-\underbrace{\frac{2}{e^{\sqrt{r}}}}_{\rightarrow 0}}=\frac{2}{e}$$
Die Konstante \(C\in\mathbb{R}\) schleife ich hier nicht extra mit. Die solltest Du aber der Form wegen noch ergänzen. Du musst übrigens nicht \(-\sqrt{x}\) substituieren. Es funktioniert auch mit \(\sqrt{x}\), allerdings musst Du hier dann (wie gezeigt) das negative Vorzeichen mitziehen.
André
