Das, was Du als ersten Filter beschreibst, kenne ich unter dem Begriff "gleitender Mittelwert". Dieser ist (wie auch der Gauss-Filter) ein Tiefpass-Filter, was Du daran erkennst, dass die Summe aller Filterkerneinträge einen von \(0\) verschiedenen Wert ergeben. Deiner Beschreibung nach handelt es sich um einen \(3\times3-\)Filterkern. Für den gleitenden Mittelwert ist der Kern \(M\in\mathbb{R}^{3\times3}\) also: $$M=\frac{1}{3^2}\cdot \left(\begin{matrix}1 & 1& 1\\ 1& 1& 1\\ 1& 1 & 1\end{matrix}\right)$$ Sei \(H\in\mathbb{R}^{3\times3}\) der Gauss-Tiefpass. Dann beschreibe $$h(x,y)=\dfrac{e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}}{2\pi\cdot \sigma^2}$$ den Eintrag in \(H\) an der Position \((x,y)\). Sei weiterhin \(m\in\mathbb{R}\) der "Normierungsfaktor". Dann können wir den Gauss-Tiefpassfilter wie folgt beschreiben: $$H=\underbrace{\left(\sum_{x,y\in H}{h(x,y)}\right)^{-1}}_{=m} \left(\begin{matrix}h(-1,1) & h(0,1)& h(1,1)\\ h(-1,0)& h(0,0)& h(1,0)\\ h(-1,-1)& h(0,-1) & h(1,-1)\end{matrix}\right)$$ Es ist also $$m=\left(\sum_{x,y\in H}{\dfrac{e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}}{2\pi\cdot \sigma^2}}\right)^{-1}=2\pi\cdot \sigma^2\cdot \left(\sum_{x,y\in H}{e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}}\right)^{-1}$$ Als Faktor vor dem Gauss-Kern ist \(m\) mit jedem Element in \(H\) zu multiplizieren (bzw. das bedeutet diese Schreibweise). Ein Element in \(H\) ergibt sich also durch \(m\cdot h(x,y)\) wie folgt: $$m\cdot h(x,y) = 2\pi\cdot \sigma^2\cdot \left(\sum_{x,y\in H}{e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}}\right)^{-1}\cdot \dfrac{e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}}{2\pi\cdot\sigma^2}= \left(\sum_{x,y\in H}{e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}}\right)^{-1}\cdot e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}$$ Es ist $$\lim_{\sigma\longrightarrow\infty}{e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}}=e^0=1$$ (ggf. kannst Du hier eine sauberere Grenzwertbetrachtung machen; Stichwort: Epsilontik). Damit berechnen wir: $$m^{-1}=\sum_{x,y\in H}{e^{-\frac{x^2+y^2}{2\sigma^2}}}=\sum_{x,y\in H}{1}=9$$ denn wir haben einen \(3\times3-\)Gauss-Tiefpass. Es ist also $$\lim_{\sigma\longrightarrow\infty}{m\cdot h(x,y)=(3^2)^{-1}=\dfrac{1}{9}=\dfrac{1}{3^2}}$$ Der Gauss-Filterkern hat also für \(\sigma\longrightarrow \infty\) folgende Gestalt: $$\left(\begin{matrix}(3^2)^{-1}&(3^2)^{-1}&(3^2)^{-1}\\(3^2)^{-1}&(3^2)^{-1}&(3^2)^{-1}\\(3^2)^{-1}&(3^2)^{-1}&(3^2)^{-1}\end{matrix}\right)=\dfrac{1}{3^2} \left(\begin{matrix}1&1&1\\1&1&1\\1&1&1\end{matrix}\right)$$ Und das ist genau die Gestalt von \(M\) \(\square\)
Ich hoffe, dass Dir das weiterhilft!
André
