Zusammenhang Determinante und Eigenwerte einer 2x2 Matrix

Question

ich habe mal eine kurze Frage bezüglich den oben genannten Begriffen. Wenn ich eine Funktion vom ℝ² -> ℝ habe und diese auf lokale Extrema untersuchende soll, gilt dann:

- wenn die Determinante einer 2x2 Matrix negativ ist, die Matrix indefinit? Und kann man auch Aussagen über die Definitheit einer Matrix treffen, wenn die Determinante = 0 ist oder positiv ist?

Answer 1

Und kann man auch Aussagen über die Definitheit einer Matrix treffen, wenn die Determinante = 0 ist

Bei einer 2x2 Matrix ist sie dann jedenfalls positiv oder negativ semidefinit.

Denn det=0 bedeutet ja für die zugehörige lin. Abb. :

dim(Kern) >0 also ein Eigenwert 0 vorhanden und je nach dem Vorzeichen des

anderen ist sie pos. oder neg. semidefinit, siehe

https://de.wikipedia.org/wiki/Definitheit#Eigenwerte

Es sei denn, es ist die Nullmatrix, die ist beides.

Answer 2

Siehe hier

https://homepage.univie.ac.at/johann.brandstetter/mathe2_folien/definitheit.pdf