Wurzelkriterium Konvergenz von Reihen. k=1, (2k/(k+1))^k

Question

Ich übe gerade für die Matheklausur und wollte fragen ob ich richtig gerechnet habe, weil Reihen auf Konvergenz nicht mein spezialgebiet ist

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und benennen Sie das Konvergenzkriterium.

k=1

(2k/k+1)^k

da habe ich das Wurzelkrit genommen und das raus bekommen

kWurzel(2k/k+1)^1/k^2 das umgeschrieben wäre bei mir 2k/k+1 , somit würde die Reihe Divergieren. Hoffe man versteht was ich meine. Wenn es ein Programm gibt womit man die Funktionen besser schreiben kann und hier rein kopieren kann, wäre es toll wenn mir jemand dies schicken würde

Comments

Oder wenn ich anders ausrechne komme ich auf 2/1 ,was 2 ist , stimmt das?

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"Hoffe man versteht was ich meine."

Nicht wirklich!

"Wenn es ein Programm gibt womit man die Funktionen besser schreiben kann und hier rein kopieren kann, wäre es toll wenn mir jemand dies schicken würde."

https://www.matheretter.de/rechner/latex

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In der Summe steht (2k / (k+1))^k    ? Benutze Klammern für eindeutige Schreibweise.

das umgeschrieben wäre bei mir 2k/k+1

Du meinst wohl 2k / (k+1) ?  Wenn ja, davon muss noch der Grenzwert für k→∞ gebildet werden. Dieser Grenzwert ist 2. Dann divergiert die Reihe gemäß Wurzelkriterium, denn 2 > 1.

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Kannst mir den letzten Schritt nochmal erklären? das mit dem Grenzwert bilden?

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Okay, siehe Antwort.

Answer 1

Hallo  jokol22! :-)

Konvergiert die Reihe \( \sum_{k=1}^{\infty}\left( \frac{2k}{k+1}  \right)^k  \) ?
Wir benutzen das Wurzelkriterium:

$$ \lim_{k \to \infty}\sqrt[k]{\left |\left( \frac{2k}{k+1}  \right)^k  \right |} = \lim_{k \to \infty} \frac{2k}{k+1} = 2 \cdot \lim_{k \to \infty} \frac{k}{k+1} = 2 \cdot \lim_{k \to \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{k}} = \\2 \cdot \frac{1}{1+\frac{1}{\infty}}  = 2 \cdot \frac{1}{1+0} = 2 $$

Wegen  \( 2 > 1 \) ist die Reihe gemäß Wurzelkriterium divergent.

Beste Grüße
gorgar

Answer 2

es ist lim k---> ∞ 2k/(k+1)=2

Also ist die Folge (2k/(k+1))^k

keine Nullfolge und die Reihe divergiert.