Erstellung einer Parabel durch einen Schnittpunkt mit gegebenen Extrempunkt funktioniert nicht

Question

Hatte diese Aufgabe, noch nicht so weit durchgerechnet, schon einmal eingestellt:

Möchte ein Polynom 3. Grades zumindest teilweise, durch Parabeln darstellen!

y₁=1/3x³-x+2/3

y₂₌ a(x-ß)²+y₀  Parabel in Scheitelpunktform

es soll gelten: y₁=y₂ und y₁'=y₂';

y₁'=y₂'=2a(x-ß)=x²-1; x-ß=(x²-1)/2a; ß=x-(x²-1)/2a;

y₂=a(x-ß)²+y₀; für ß Einsetzen y₃=a(x-x+(x²-1)/2a)²+y₀; y₃=(x²-1)²/4a+y₀

Extremwerte dieser Funktion: y₃'=0=2*2x(x²-1)/4a; x₁=0; x_2/3=+-1, nur zur Probe!

gemeinsame Schnittpunkte:

y₃=y₂, daraus folgt: a(x-ß)²+y₀=(x²-1)²/4a+y₀, daraus folgt: 4a²(x-ß)²=(x²-1)² Wurzel ziehen und nach x Auflösen!

x_1/2=a+-(a²-2aß+1)^1/2 , des weiteren soll gelten:

y₃'=y₁', der Anstieg der beiden Funktionen soll in x_1/2 gleich groß sein, auch mit der Funktion y₂'_,  daraus folgt:

y₃'=x(x²-1)/a

y₁'=x²-1, daraus folgt: y₁'=y₂'  (x³-x)/a=x^2-1, x³-a*x²-x+a=0, daraus folgt, dass eine Nullstelle dieser Funktion bei x=a liegt!, die anderen beiden bei 1 und -1, x=a ist interessant, da dies der Schnittpunkt dieser 3 Funktionen y ist!

ermittelt wurde, Siehe weiter oben, x_1/2=a+-(a²-2aß+1)^1/2  mit x_1/2=a folgt daraus: a=a+-(a²-2aß+1)^1/2

a ist demnach: a=ß+-(ß²-1)^1/2 ,dies war ja eine quadratische Gleichung für a

an der Stelle x=a sollen die Ableitungen gleich groß sein: y₁'(a)=y₂'(a)=y₃'(a)

meine Frage, wie komme ich jetzt zum Schnittpunkt, der alle Forderungen, Funktionswerte und Ableitungen sollten bei allen Funktionen übereinstimmen, y₁=y₂=y₃ und die Ableitungen dieser Funktionen sollen in x=a gleich groß sein!!!!!!!

Habe dies für a=x=2 näherungsweise ermittelt bzw. die Graphen gezeichnet, komme einfach nicht auf den Schnittpunkt, um damit die Deckungsgleiche Parabel in Scheitelpunktform mit dem Polynom 3. Grades genau berechnen zu können!!!

~plot~ 1/3x^3-x+2/3; 4/3;x=2; 2(x-1,25)^2+0,2083;(x^2-1)^2/8+0,2083 ~plot~

Kann man mir helfen?

Answer 1

Du machst dir ja eine Menge Arbeit.

Hier nochmals die Skizze

In der Praxis kann verfahren werden
In welchem Bereich soll die Funktion ersetzt
werden z.B. [-5..5]
Dann werden Stützpunkte festgelegt
durch die die Parabeln bestimmt verlaufen sollen.
Für jeweils 3 Stützpunkte wird eine Parabel
ausgerechnet.

Bei Bedarf weiter nachfragen.

PS Was ist überhaupt der Hintergrund
der Frage ?

Comments

Ja, ich mache mir eine Menge Arbeit, ich möchte dies Entschuldigen.......! Das mit den drei Stützpunkten ist klar! Eine andere Möglichkeit gibt es nicht, wie bei meinem Beispiel aufgeführt? Die Graphen sind doch fast Deckungsgleich, sicherlich nur ein kleiner Rechenfehler, der mir unterlaufen ist, oder?

---

Hallo Bert,
Jedermann kann im Forum Mathefragen stellen.
Jedermann kann hier Antworten geben.
Hier ist alles freiwillig.

Zu deinem Problem :
-ich sehe bei dir eine blaue Kurve,
die Funktion 3.Grades
- eine pinkfarbene Funktion
- sowie ein gelbe Funktion. Die
gelbe Funktion ist sogar eine Funktion
4.Grades.

  Deine Rechnungen erscheinen mir nicht
so sinnvoll. Sieht auch recht kompliziert
aus.

Deshalb nochmals meine Nachfrage :
was ist der Hintergrund für deinen
Wunsch eine Funktion 3.Grades durch
mehrere Funktionen 2.Grades zu
ersetzen ?
In welchen Bereich sollen die Funktionen
gelten ?

Die Funktion 3.Grades ist punktsymmetrisch
zu ( 0 | 2/3 ). Es braucht nur eine Ersatzlösung
im Bereich - ∞ bis 0 gefunden werden. Alles
andere Werte ergeben sich durch Spiegelung.

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Damit könnte ein beliebiger Graph eines Polynoms höheren Grades mit einer Parabel beschrieben werden! Funktionsgleichungen könnten dann damit durch einen abgebildeten Graphen aufgestellt werden......und damit könnte man doch allerhand ausrichten, Trägheitsmomente usw., oder sollte ich mich da täuschen?

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Bert,
irgendwie bist du auf dem Holzweg.
Ist nicht bös gemeint
Eine Funktion 3.Grades hat z.B. einen
Wendepunkt und je 1 Hoch- und Tiefpunkt.
Eine Funktion 2.Grades ( Parabel )
hat keinen Wendepunkt und nur 1 Hoch- oder
Tiefpunkt.

Wie willst du eine Funktion 3.Grades durch
eine Funktion 2.Grades ersetzen ???

Du kannst eine Funktion 3.Grades durch
mehrere Funktion 2.Grades ersetzen.

Irgendwelche Vorteile für folgende
Berechnungen sehe ich nicht.

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Das wollte ich auch, mehrere Funktionen 2. Grades für die Darstellung einer Funktion 3 Grades nutzen. Schade, dass der Fehler in der Berechnung nicht auffindbar war. Dankeschön für die Erläuterungen! Bert Wichmann!